Deze samenvatting is gebaseerd op het boek delta nova analyse deel 2 5 maar je kan ze ook zeker gebruiken als je een ander boek hebt. In de samenvatting staat de theorie maar ook stappenplannen van hoe je de oefeningen zou moeten maken.
Informele limiet ‘steeds dichter’, ‘voldoende dicht naderen tot’
en ‘onbeperkt toe- of afnemen’ niet exact
gedefinieerd is
linkerlimiet lim f ( x )
x→ a
¿
rechterlimiet lim f ( x )
x→ a
¿
Verband tussen limiet, linkerlimiet en lim f ( x ) = b
x→ a
rechterlimiet
⇕
lim f ( x ) lim f ( x )
x→ a = x→ a =b
¿ ¿
8.2 LIMIETEN BEREKENEN
8.2.1 FUNDAMENTELE LIMIETEN
F(x) = c : lim
x→ a
f (x ) = c
F(x) = x : lim f ( x ) = a
x→ a
F(x) = 1/x : lim f ( x ) = 1/a met a≠0
x→ a
8.2.2 REKENREGELS VOOR EINDIGE LIMIETEN
Definitie eindige limieten Indien lim f ( x ) = b met b
x→ a
∈ R , dan noemen we lim f (x ) een eindige
x→ a
limiet
Rekenregels - De limiet van een som is de som van de
limieten
- De limiet van een verschil is het verschil
van de limieten
- De limiet van een product is het
product van de limieten
- De limiet van een veelvoud is het
veelvoud van de limiet
- De limiet van een quotiënt is het
quotiënt van de limieten
- De limiet van een macht met rationale
exponent is de macht van de limiet
De limiet van een som is de som van de limieten lim ¿ ¿ + g(x)) = lim f ( x ) + lim g ( x)
x→ a x→ a x→ a
: in symbolen
De limiet van een verschil is het verschil van de lim ¿ – g(x)) = lim f (x ) - lim g ( x)
x→ a x→ a x→ a
limieten : in symbolen
De limiet van een product is het product van de lim ¿ ¿ * g(x)) = c * lim g ( x)
x→ a x→ a
limieten : in symbolen
De limiet van een veelvoud is het veelvoud van lim (r∗f ( x)) = r* lim f (x )
x→ a x→ a
de limiet : in symbolen
, De limiet van een quotiënt is het quotiënt van lim f ( x)
f (x) x →a
de limieten : in symbolen lim = als lim g (x) ≠ 0
x→ a g(x ) lim g( x ) x→ a
x →a
De limiet van een macht met rationale lim ( f ( x ) ) = ( lim f ( x ))q (q∈Q 0 ¿ als
q
exponent is de macht van de limiet : in x→ a x →a
q
symbolen ( lim f ( x )) gedefineerd is
x →a
8.2.3 REKENREGELS VOOR ONEINDIGE LIMIETEN
Definitie oneindige limieten Is lim f ( x ) = + ∞ of lim f (x )= -∞ , dan noemen
x→ a x→ a
we lim f ( x ) een oneindige limiet
x→ a
Eerste rekenregel en symbolische notatie Als lim f ( x ) = + ∞ en lim g ( x) = + ∞ , dan is
x→ a x→ a
lim ( f ( x ) + g ( x )) = + ∞
x→ a
En lim ( f ( x )∗g ( x ) ) = + ∞
x→ a
(+∞ ¿+ (+∞ ) = +∞
(-∞ ) + (-∞ ) = -∞
(+∞ ¿- (-∞ ) = +∞
(-∞ ) – (+∞ ¿=¿ -∞
r + (+∞ ) = (+∞ ) + r = ∀r∈R +∞
r + (-∞ ) = (-∞ ) + r = ∀r∈R -∞
r – (+∞ ) = ∀r ∈R -∞
r – (-∞ ) = ∀r∈R +∞
√n +∞ = met n ∈ N 0 +∞
√n −∞ = met n ∈ N 0 -∞
(+ ∞)q = met q +∞
+¿ ¿
∈Q 0
(+∞ ) * (+∞ )= +∞
(-∞ ) * (-∞ ) = +∞
(+∞ ) * (-∞ ) = -∞
(-∞ ) * (+∞ ) = -∞
r * (+∞ ) = (+∞ ) * r = +∞
∀ r ∈ R+¿¿
0
r* (+∞ ) = (+∞ ) * r = -∞
∀ r ∈ R−¿0
¿
r * (-∞ ) = (-∞ ) * r = -∞
∀ r ∈ R+¿¿
0
r * (-∞ ) = (-∞ ) * r = +∞
∀ r ∈ R−¿0
¿
r r 0
= =∀ r ∈ R
+ ∞ −∞
+∞ +∞
=¿
r
∀ r ∈ R+¿¿
0
−∞ -∞
=¿
r
+¿¿
∀ r ∈ R0
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