Deze samenvatting is gebaseerd op het boek delta nova 4a, maar je kan de samenvatting zeker ook gebruiken als je een ander boek hebt. In de samenvatting staan de goniometrische getallen volledig uitgewerkt + de verwante hoeken : supplementaire en complementaire hoeken + de cosinusregel en de sinusr...
6.1 GONIOMETRISCHE GETALLEN VAN WILLEKEURIGE HOEKEN
6.1.1 SCHERPE HOEKEN EN DE GONIOMETRISCHE CIRKEL
Goniometrische cirkel De cirkel met middelpunt O(0,0) en straal r = 1
Kwadrant 1 Rechtsboven
Kwadrant 2 Links boven
Kwadrant 3 Linksonder
Kwadrant 4 Rechtsonder
beeldpunt Het snijpunt van dat tweede been met de
goniometrische cirkel
Cos α = x-coördinaat van P
Sin α = y-coördinaat van P
Tan α = sin α
cos α
Cot α = cos α 1
=
sin α tan α
6.1.2 GONIOMETRISCHE GETALLEN VAN WILLEKEURIGE HOEKEN
Bewijs hoofdformule goniometrie+ Aangezien P (cos α ,sin α ¿ het beeldpunt is van
α, ligt het op de goniometrische cirkel en geldt:
│OP│= 1
√ ¿ ¿ ¿ afstandsformule
√ cos2 α + sin2 α =1 vereenvoudigen
Cos^2α + sin^2α =1 beide leden kwadrateren
Tussen welke getallen liggen de cos -1 en 1
α en de sin❑ α
6.1.3 MEETKUNDIGE BETEKENIS VAN DE TANGENS
definitie De tangens van een hoek α is de
richtingscoëfficiënt van het eindbeen van de
hoek α
Wanneer kan je de tangens aflezen y-coördinaat van het snijpunt van OP met de
raaklijn in (1,0) aan de goniometrische cirkel
wat is de meetkundige betekenis van tan α sin α −0
Rico of
cos α −0
Je hoek is 0°≤ α ≤45° wat is de tangens 0 ≤ α ≤1
Je hoek is 45°≤ α ≤ 90° wat is de tangens 1 ≤ tan α
Je hoek is 90°≤ α ≤ 135° wat is de tangens -1≤tan α
Je hoek is 135°≤ α ≤ 180° wat is de tangens 0≤tan α ≤ -1
6.2 VERWANTE HOEKEN
6.2.1 SUPLEMENTAIRE HOEKEN
definitie Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de
som 180° is
eigenschap Supplementaire hoeken hebben een gelijke
sinus en een tegenstelde cosinus, tangens en
, wiskunde hoofdstuk 6 driehoeksmeting
cotangens
verklaring De hoeken ∝ en 180° - ∝ hebben als
beeldpunten P en Q. hun loodrechte projecties
op de x-as zijn P’ en Q’.
∆ OPP’ ≅ ∆OQQ’ omdat
H PÔP’ = ∝= QÔQ’
Z │OP │ = 1 =│OQ│
H O^PP’ = 90° - ∝ = O^QQ’
⇓
│OP’│ = │OQ’│ en │PP’│ = │QQ’│
⇓
cos ∝ = −cos (180 °−∝) en sin ∝ =
sin(180 °−∝)
⇓
cos (180 °−∝) = -cos ∝ ensin(180 ° −∝)=¿
sin ∝
tekening
gevolg tan (180 °−∝) = - tan ∝
cot(180°−∝)= - cot ∝
6.2.2 COMPLEMENTAIRE HOEKEN
definitie Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan
de som 90° is
eigenschap Voor complementaire hoeken geldt :
- De cosinus van de ene is gelijk aan de
sinus van de andere
- De tangens van de ene is gelijk aan de
cotangens van de andere
verklaring P en Q zijn de beeldpunten van ∝ en 90°- ∝. P’
is de loodrechte projectie van P op de x-as en Q’
is de loodrechte projectie van Q op de y-as
∆ OPP’ ≅ ∆ OQQ’ omdat
H PÔP = ∝ = QÔQ’
Z │OP│=1= │OQ│
H O^PP’ = 90° - ∝ = O^QQ’
⇓
│OP’│=│OQ’│ en │PP’│=│QQ’│
⇓
cos ∝ = sin 90 °−∝ en sin ∝ = cos 90° −∝
⇓
cos 90°−∝ = sin ∝ en sin 90 °−∝ = cos ∝
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