Verklarende statistiek (2021–2022): Werkcollege 1
Werkwijze werkcolleges
We rekenen erop dat je voorbereid naar het werkcollege komt. Die voorbereiding kan verschillende
vormen aannemen:
• je bekijkt een deel van de leerstof, zodat je er tijdens het werkcollege mee aan de slag kan.
• je bekijkt een kennisclip over een methode of techniek die in het werkcollege verder zal inge-
oefend worden.
• je maakt een aantal herhalings/voorbereidingsoefeningen over eerder geziene leerstof/werk-
colleges. Ook je kennis uit de cursus ‘Beschrijvende statistiek en kansrekenen’ zal regelmatig
van pas komen. Je vindt de nodige formules terug in het eerste deel van het formularium!.
We zullen telkens goed aangeven hoe je je op het werkcollege kan voorbereiden en je mag hierover
natuurlijk ook altijd vragen stellen tijdens het werkcollege!
Bij een nieuw type oefening zullen we steeds starten met een uitgewerkt voorbeeld (modeloplossing).
Daarna kan je dan zelf aan de slag gaan met soortgelijke opgaven.
Uiteraard kan je altijd op onze hulp rekenen bij het zelfstandig uitwerken van deze oefeningen, tijdens
het werkcollege zelf of nadien tijdens een SOM-moment of na afspraak.
We voorzien steeds korte (eind)oplossingen met eventueel een aantal noodzakelijke tussenstappen,
maar je mag ook altijd je uitwerkingen waarover je twijfelt, afgeven ter verbetering.
Graag willen we jullie nog even aanmoedigen om de voorbereidende oefeningen te maken en actief
mee te werken tijdens het werkcollege. Zo kan je je optimaal voorbereiden op een succesvol examen!
Wij kijken alvast uit naar een boeiende samenwerking! Veel succes!
Voorbereiding op werkcollege 1
Het kan zeker geen kwaad om de leerstof en de oefeningen over de normale verdeling uit de cursus
‘Beschrijvende statistiek en kansrekenen’ nog eens opnieuw te bekijken. Er zijn ook een aantal
kennisclipjes beschikbaar op Blackboard om alles terug even op te frissen en je optimaal voor te
bereiden op de start van deze cursus!
Hieronder staan een aantal herhalingsoefeningen over de normaalverdeling. Probeer ze alvast
te maken voor je naar het werkcollege komt. De oplossingen vind je onderaan deze opgavenbundel.
1. Beschouw Z ∼ N(0, 1). Bereken de volgende kansen door gebruik te maken van de overeen-
komstige tabel in het formularium. Maak hierbij ook een grafische voorstelling.
(a) P(Z = 1, 96); (b) P(Z ≥ 1, 96); (c) P(Z > 1, 64); (d) P(Z ≤ −2); (e) P(Z ≤ 3, 71)
2. Bereken de volgende kansen. Vergeet niet te standaardiseren!
(a) P(X ≤ 39, 6) met X ∼ N(µ = 20, σ 2 = 100);
(b) P(0 < X < 15) met X ∼ N(µ = 5, σ 2 = 25);
(c) P(X ≤ −5) met X ∼ N(µ = −2, σ 2 = 4)
1
,Onderstaande oefeningen zullen we maken tijdens het werkcollege.
Het is nuttig om bij deze oefeningen steeds een grafische voorstelling te maken. Dit helpt om de
opgaven beter te begrijpen en kritisch naar je oplossing te kunnen kijken. Bovendien zijn deze
grafische voorstellingen ook voor de rest van de cursus belangrijk! Verzorg ook je notaties voor een
betere leesbaarheid van je oplossing.
Oefening 1: Kritieke waarden normale verdeling
Dit soort oefeningen heb je ook al gemaakt in de cursus ‘Beschrijvende statistiek en kansreke-
nen’, we voeren nu enkel een nieuwe notatie in!
Als P(Z ≥ x) = α met Z ∼ N(0, 1), dan noemen we x de (100 × α) % rechterkritieke waarde
van de N(0, 1)-verdeling.
Notatie: x = zα
Bepaal x en geef de schrijfwijze aan voor x als kritieke waarde voor de N(0, 1)-verdeling.
1. P(Z ≥ x) = 0, 03
2. P(Z ≤ x) = 0, 05
3. P(Z ≥ x) = 0, 975
4. P(Z ≤ x) = 0, 999
In JMP bepaal je de kritieke waarde zα met het commando ’Normal Quantile(1-α)’.
Oefening 2: Kansen t-verdeling
T= pZ
X/n
is t-verdeeld met n vrijheidsgraden, als Z ∼ N(0, 1) en X ∼ χ2n onafhankelijk zijn.
Notatie: T ∼ tn ; De t-verdeling is symmetrisch en lijkt qua vorm op de normale verdeling.
ben.
Voor n ≥ 30: tn ∼ N(0, 1)
Bereken volgende kansen door gebruik te maken van tabel F in het formularium.
We spreken af:
• staat het aantal vrijheidsgraden niet in de tabel → gebruik de dichtstbijgelegen waarde
• staat de waarde van T niet in de tabel → maak een afschatting (tussen, >, <)
Voorbeeld: P(t31 < −2) ≈ P(t30 < −2) = P(t30 ≥ 2) = waarde tussen 0, 025 en 0, 05
1. P(X ≥ 1, 8946) met X ∼ t7 (of we noteren dit verkort als P(t7 ≥ 1, 8946))
2
, 2. P(t100 < 2, 3263)
3. P(X > −1, 5) met X ∼ t9
4. P(|X| > 1, 0711) met X ∼ t16
5. P(|t25 | < 3)
6. P(t5 < −1, 4759)
7. P(t19 < 0, 9)
In JMP bereken je P(tk ≥ x) met het commando ’1− t Distribution(x, k)’ met k het aantal vrij-
heidsgraden.
Oefening 3: Kritieke waarden t-verdeling
Als P(tn ≥ x) = α, dan noemen we x de (100 × α) % rechterkritieke waarde van de tn -verdeling.
Notatie: x = tα;n
Bepaal x en geef de schrijfwijze aan voor x als kritieke waarde voor de overeenkomstige t-verdeling.
1. P(t5 ≥ x) = 0, 01
2. P(t16 ≤ x) = 0, 05
3. P(t9 ≥ x) = 0, 975
4. P(t2 ≤ x) = 0, 90
In JMP bepaal je de kritieke waarde tα;k met het commando ’t Quantile(1 − α, k)’, met k het aantal
vrijheidsgraden.
Oefening 4: Kansen χ2 -verdeling
is χ2 -verdeeld met n vrijheidsgraden, als Zi ∼ N(0, 1) en onafhankelijk.
Pn 2
X= i=1 (Zi )
Notatie: X ∼ χ2n ; Deze verdeling is positief en niet symmetrisch.
Voor X ∼ χ2n : µX = E(X) = n en σX2 = var(X) = 2n
Bereken volgende kansen door gebruik te maken van tabel E in het formularium.
We spreken af:
• staat het aantal vrijheidsgraden niet in de tabel → gebruik de dichtstbijgelegen waarde
• staat de waarde van X niet in de tabel → maak een afschatting (tussen, >, <)
Voorbeeld: P(χ247 ≥ 70) ≈ P(χ250 ≥ 70) = waarde tussen 0, 025 en 0, 05
3
, 1. P(X < 2, 7) met X ∼ χ29 (of we noteren dit verkort als P(χ29 < 2, 7))
2. P(X < 16) met X ∼ χ22
3. P(χ277 > 116, 321)
4. P(χ230 < 13, 787)
5. P(X > 11, 07) met X ∼ χ25
6. P(χ219 ≥ 25)
In JMP bereken je P(χ2k ≥ x) met het commando ’1− ChiSquare Distribution(x, k)’, met k het
aantal vrijheidsgraden.
Oefening 5: Kritieke waarden χ2 -verdeling
Als P(χ2n ≥ x) = α, dan noemen we x de (100 × α) % rechterkritieke waarde van de χ2n -verdeling.
Notatie: x = χ2α;n
Bepaal x en geef de schrijfwijze aan voor x als kritieke waarde voor de overeenkomstige χ2 -verdeling.
1. P(χ222 ≥ x) = 0, 01
2. P(χ29 ≤ x) = 0, 005
3. P(χ27 ≥ x) = 0, 975
4. P(χ225 ≤ x) = 0, 95
In JMP bepaal je de kritieke waarde χ2α;k met het commando ’ChiSquare Quantile(1 − α, k)’, met k
het aantal vrijheidsgraden.
Oefening 6: Kansen F-verdeling
Deze kansdichtheid komt pas later aan bod in de cursus, maar we illustreren nu alvast het gebruik
van de tabel. Deze is eerder beperkt, omwille van de vele mogelijke combinaties van vrijheidsgraden.
X1
F= m
X2 is F-verdeeld met vrijheidsgraden m en n, als X1 ∼ χ2m en X2 ∼ χ2n onafhankelijk zijn.
n
Notatie: F ∼ Fm,n ; De F-verdeling is positief en niet symmetrisch (cf. χ2 -verdeling).
Bereken volgende kansen door gebruik te maken van tabel G in het formularium.
We spreken af:
• staat het aantal vrijheidsgraden niet in de tabel → gebruik de dichtstbijgelegen waarden
• staat de waarde van F niet in de tabel → maak een afschatting (tussen, >, <)
4
,Voorbeeld: P(F62,16 > 2) ≈ P(F50,16 > 2) = waarde tussen 0, 05 en 0, 10
1. P(X ≥ 3, 098) met X ∼ F3,20 (of we noteren dit verkort als P(F3,20 ≥ 3, 098))
2. P(F29,105 > 3)
3. P(X < 2, 785) met X ∼ F25,21
4. P(X ≥ 2, 5) met X ∼ F13,13
In JMP bereken je P(Fv1 ;v2 ≥ x) met het commando ’1− F Distribution(x, v1 , v2 )’, met v1 en v2 het
aantal vrijheidsgraden.
Oefening 7: Kritieke waarden F-verdeling
Als P(Fm,n ≥ x) = α, dan noemen we x de (100 × α) % rechterkritieke waarde van de Fn,n -
verdeling.
Notatie: x = Fα;m;n
Bepaal x en geef de schrijfwijze aan voor x als kritieke waarde voor de overeenkomstige F-verdeling.
1. P(F25,7 ≥ x) = 0, 01
2. P(F7,9 ≤ x) = 0, 90
3. P(F6,70 < x) = 0, 99
4. P(F9;16 > x) = 0, 025
In JMP bepaal je de kritieke waarde Fα;v1 ;v2 met het commando ’F Quantile(1 − α, v1 , v2 )’, met v1
en v2 het aantal vrijheidsgraden.
Oplossingen
Herhalingsoefeningen over de normaalverdeling
Opmerking: een tekening maken van de normaalverdeling waarop je de gevraagde kans(en) als
oppervlakte(n) aanduidt, kan zeker helpen om dit soort oefeningen gemakkelijker op te lossen!
1. (a) P(Z = 1, 96) = 0 (want bij een continue kansvariabele is zo’n kans steeds 0)
(b) P(Z ≥ 1, 96) = 0, 025
(c) P(Z > 1, 64) = 0, 0505 (= P(Z ≥ 1, 64) want bij een continue kansvariabele maakt
soort ongelijkheid geen verschil)
(d) P(Z ≤ −2) = P(Z ≥ 2) = 0, 02275 (want N(0, 1) is symmetrisch rond 0)
(e) P(Z ≤ 3, 71) = 1 − P(Z ≥ 3, 71) = 1 − 0, 0001 = 0, 9999 (gebruik complementregel)
5
, 2. (a) P(X ≤ 39, 6) = P X−20 39,6−20
10
≤ 10
= P(Z ≤ 1, 96) = 0, 975
(b) P(0 < X < 15) = P(−1 < Z < 2) = P(Z > −1) − P(Z ≥ 2) = 0, 81859
(je mag ook eerst de ongelijkheid uit elkaar halen, dus = P(X > 0) − P(X ≥ 15) en dan
pas standaardiseren: de volgorde speelt geen rol)
(c) P(X ≤ −5) = 0, 06681
Oefening 1
1. x = z0,03 = 1, 88 is de 3% rechterkritieke waarde van de N(0, 1)-verdeling.
2. P(Z ≤ x) = 0, 05 ⇔ P(Z ≥ −x) = 0, 05 ⇔ −x = 1, 64 ⇔ x = −1, 64
x = z0,95 = −z0,05 = −1, 64
De 95% rechterkritieke waarde is het tegengestelde van de 5% rechterkritieke waarde.
3. x = z0,975 = −z0,025 = −1, 96
4. x = z0,001 = 3, 09
Oefening 2
1. P(t7 ≥ 1, 8946) = 0, 05
2. P(t100 < 2, 3263) ≈ P(t∞ < 2, 3263) = 0, 99
3. P(t9 > −1, 5) ligt tussen 0, 90 en 0, 95
4. P(|t16 | > 1, 0711) = 0, 3
5. P(|t25 | < 3) ligt tussen 0, 99 en 0, 998
6. P(t5 < −1, 4759) = 0, 1
7. P(t19 < 0, 9) ligt tussen 0, 75 en 0, 85
Oefening 3
1. x = t0,01;5 = 3, 3649 is de 1% rechterkritieke waarde van de t5 -verdeling.
Er geldt: P(t5 ≥ t0,01;5 ) = 0, 01. Verzorg je notaties!
2. x = t0,95;16 = −t0,05;16 = −1, 7459
3. x = t0,975;9 = −t0,025;9 = −2, 2622
4. x = t0,1;2 = 1, 8856
Oefening 4
Opm. i.v.m. de tabel: Bovenaan links in de tabel (onder α = 0, 995 en naast 1) staat er 0, 04 393,
dit is de verkorte notatie voor 0, 0000393. Analoog voor de 3 volgende getallen op diezelfde rij.
6
, 1. P(χ29 < 2, 7) = 0, 025
2. P(χ22 < 16) > 0, 999
3. P(χ277 > 116, 321) ≈ P(χ280 > 116, 321) = 0, 005
4. P(χ230 < 13, 787) = 0, 005
5. P(χ25 > 11, 07) = 0, 05
6. P(χ219 ≥ 25) ligt tussen 0, 05 en 0, 95 (Dit is natuurlijk een hele ruwe afschatting … Als je
echter aan de kenmerken van deze verdeling denkt (µ = 19 en rechtsscheef), dan weet je dat
de overschrijdingskans zeker minder dan 50% bedraagt.)
Oefening 5
1. x = χ20,01;22 = 40, 289 is de 1% rechterkritieke waarde van de χ222 -verdeling.
2. x = χ20,995;9 = 1, 735
3. x = χ20,975;7 = 1, 690
4. x = χ20,05;25 = 37, 652
Oefening 6
1. P(F3,20 ≥ 3, 098) = 0, 05
Let op de volgorde van de vrijheidsgraden!: P(F3,20 ≥ 3, 098) 6= P(F20,3 ≥ 3, 098)
2. P(F29,105 > 3) ≈ P(F30,100 ≥ 3) < 0, 01
3. P(F25,21 < 2, 785) = 0, 99 (denk aan de complementregel)
4. P(F13,13 ≥ 2, 5) ≈ P(F12,13 ≥ 2, 5) ligt tussen 0, 05 en 0, 10
Oefening 7
1. x = F0,01;25;7 = 6, 058 is de 1% rechterkritieke waarde van de F25,7 -verdeling.
2. x = F0,10;7;9 = 2, 505
3. x = F0,01;6,70 = 3, 071
4. x = F0,025;9,16 ligt tussen 2, 538 = F0,05;9;16 en 3, 780 = F0,01;9;16
7
,
,
,
