Hfst 19: Diagonalisering gegeven door prof Willem Waegeman Deze samenvatting beslaat de cursus waaraan extra inzichten en bevindingen zijn toegevoegd + !!stappenplannen voor verschillende soorten oefeningen uit te werken!!
Diagonalisering
Een vierkante matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D en een inverteerbare matrix P
bestaat zodat A = PDP-1 een lineair onafhankelijke verzameling bestaat die n eigenvectoren van A bevat
▪ Diagonaalmatrix D bestaat uit de eigenwaarden van A op de hoofddiagonaal, de rest is 0
▪ Inverse matrix P bestaat uit de lineaire onafhankelijke eigenvectoren van A
=> de eigenvectoren zijn onafhankelijk want P is inverteerbaar
Ga na of A diagonaliseerbaar is:
▪ Bereken de eigenwaarden
▪ Bereken de eigenvectoren (eigenruimte berekenen)
▪ Stel P en D op !!!let op: de eigenvector in kolom 1 van P komt overeen met het eerste element op de
diagonaal van D enzo verder, eigenwaarden moeten hier niet van groot naar klein
▪ A = PDP-1 → AP = PD als P inverteerbaar is heb je A = PDP-1 AP = PD
▪ Of korter, heb je allemaal verschillende eigenwaarden? Is 𝛼 = 𝛾 voor alle eigenwaarden
Als je twee dezelfde eigenwaarden hebt zal je niet n eigenvectoren hebben bij n verschillende eigenwaarden
Zal niet diagonaliseerbaar zijn want je zal geen lineair onafhankelijke verzameling eigenvectoren
hebben, dus P zal ook niet inverteerbaar zijn
Is niet hetzelfde als twee eigenvectoren binnen eigenruimte van een eigenwaarde hebben
Machten van matrices
Indien A diagonaliseerbaar is: Ak = PDkP-1
Aangezien D een diagonaalmatrix is (enkele elementen op de diagonaal) mag je elk element afzonderlijk tot die
macht doen op de hoofddiagonaal
Discrete dynamische systemen
Het beschrijft een verandering in een biologisch, fysisch of chemisch proces doorheen discrete tijdstappen
𝑥⃗ 0 = starttoestand van de variabelen en met A = overgangsmatrix
𝑥⃗ 1 = A𝑥⃗ 0
𝑥⃗ 2 = A𝑥⃗ 1 = A²𝑥⃗ 0
⃗⃗k = Ak𝒙
𝒙 ⃗⃗0
Indien A ook diagonaliseerbaar is
Hebt n lineair onafhankelijke eigenvectoren die samen een basis voor IRn vormen 𝒙
⃗⃗k = Ak𝒙
⃗⃗0 = PDkP-1𝒙
⃗⃗0
Elke 𝑥⃗ 0, element van IR kan als een lineaire combo ervan geschreven worden
n
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur BioIngenieur. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €2,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
