Série d'exercices sur les notions de logique et les généralités des fonctions
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Cours
Mathematics
Établissement
This document is a series of exercises intended for first-year high school students as well as first-year university students (majors: SMA, SMI, SMP) covering concepts of logic and the fundamentals of functions.
Ce document est une série d'exercices destinés aux élèves de première année ...
Écrire, en utilisant les quantificateurs logiques, les On considère la fonction f définie sur R par
propositions suivantes :
x4 − 1
f (x) =
(P1 ) Le carré de tout réel est positif. x4 + 1
1) Étudier la parité de f .
(P2 ) Certains réels sont strictement supérieurs à leur
2) Montrer que f est majorée par 1. Est ce que 1 est la
carré.
valeur maximale de f ?
3) Montrer que f est minoré par −1. Est ce que −1 est
(P3 ) Aucun entier ne supérieur à tous les entiers.
une valeur minimale de f ?
Soit g une fonction définie sur R − {−1} par
(P4 ) Il existe un entier multiple à tous les autres.
x−1
(P5 ) La fonction f définie sur R est périodique. g(x) =
x+1
4) Donner le tableau de variation de g.
5) Déterminer l’image de l’intervalle [0; +∞[ par la fonc-
tion g.
Exercice 2
Soit h une fonction définie sur R par
Donner négation et la valeur de vérité des propositions
suivantes : h(x) = x4
6) Montrer que h est croissante sur R+ .
(P1 ) : ∀x, y ∈ R : |x − y| = 0 ⇒ x = y = 0.
7) Vérifier que f = g ◦ h, puis déduire la monotonie de
f sur R+ .
(P2 ) : ∀x ∈ R : −1 < cos x < 1.
8) Donner la tableau de variation de f .
9) Déterminer les coordonnées des points d’intersection
(P3 ) : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y 2 = x.
de Cf avec l’axe d’abscisses et l’axe des ordonnées.
n n2 − 1
(P4 ) : ∀n ∈ N∗ : ∈ N ou ∈ N.
3 3 Exercice 5
2
(P5 ) : ∀x ∈ R : x > 1 ⇒ (x > 1 ou x < 0). Soit f une fonction numérique telle que
x−1
f (x) = 2 , avec m ∈ R.
x +x+m
1) Déterminer les valeurs de m pour que Df = R.
Exercice 3 1
2) Soit g la fonction définie par g(x) = .
1) Montrer que : x+2
Déterminer les valeurs de m pour que
∀x, y ∈ R : x ̸= 2 et y ̸= 2 ⇒ 2x + 2y − xy − 2 ̸= 2. f (x) = g(x) , ∀x ∈ R − {1; 2}.
√
2) Montrer que ∀x ∈ R : x2 + 1 + x > 0.
Exercice 6
3) Montrer que ∀x ∈ R : |x − 1| ≤ x2 − x + 1
Soit
f une fonction 3-périodique telle que :
4) Résoudre dans R l’inéquation : |2x+1|−|3x+2| ≥ 5x. f (x) = x 0≤x<1
f (x) = 1 1≤x<2
f (x) = 3 − x 2 < x < 3
5) Soit n, p ∈ N. Montrer que np est pair ou n2 − p2 est
un multiple de 8. 1) Calculer f (7), f (2023) et f (−19).
2) Tracer Cf sur l’intervalle [−3; 6].
6) Montrer que
1 1 1 1
∀n ∈ N∗ : 1 + + 2 + ··· + 2 ≥ 2 − .
22 3 n n
1 BAC SC EXP 1 2023-2024
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