Série d'exercices sur les notions de logique et généralités sur les fonctions
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Cours
Mathematics
Établissement
Ce document est une série d'exercices destinés aux élèves de première année de baccalauréat ainsi qu'aux étudiants de première année universitaire (filières SMA, SMI, SMP) portant sur les notions de logique et les généralités des fonctions.
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Écrire, en utilisant les quantificateurs logiques, les pro- Montrer les implications suivantes :
positions suivantes : 1 1 1 7
(1) (x > 2 et y ≥ ) ⇒ 0 < + < .
(P1 ) Pour tout entier naturel n, il existe un entier natu- 3 x y 2
rel m tel que n = 2m. 2x + 3
(2) ∀x ∈ R : |x − 2| ≤ 1 ⇒ 0 < ≤ 3.
(P2 ) Pour tout réel x et tout réel y, il existe un entier x+2
1 3 1 3
naturel n tel que x + y = n. (3) ∀x ∈ R : |x − 2| ≤ ⇒ ≤ ≤ .
(P3 ) La fonction f définie sur R est strictement crois- 3 13 x+2 11
sante.
(P4 ) Pour tout entier naturel p, on a 3 divise p2 − 1 ou
bien 3 divise p. Exercice 7 (Raisonnement par équivalence)
(P5 ) Il existe un nombre réel x tel que x2 est un nombre
rationnel mais x est un nombre irrationnel. Montrer, en utilisant des équivalences successives, les
propositions suivantes :
1
(1) ∀x ∈ R : 1 − √ ≥ 0.
Exercice 2 1 + x2
r
x2 + 3x + 1 √
Donner la valeur de vérité des propositions suivantes : (2) ∀x ∈ R+ : ≥ x.
(P1 ) : 30 est un nombre 5
√ impair. p
(3) ∀x, y ∈]1, +∞[√: x + y + 2 (x − 1)(y − 1) > 2.
(P2 ) : (−3)2 = 9 et√ 9 =√−3. √
(P3 ) : (π ∈ Q) ou ( 3 + 7 > 3). (4) ∀x ∈ R : (x − 3)2 − 3 = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2 3.
(P4 ) : ∀x ∈ R : x2 > 1 .
(P5 ) : ∃n ∈ N : 3n − 6 = 0.
(P6 ) : ∀n ∈ N, ∃p ∈ N : n < p. Exercice 8 (Raisonnement par contraposée)
Montrer que :
Exercice 3 x+2
(1) ∀x ∈ R ; x ̸= −8 ⇒ ̸= 2.
x+5
En utilisant le tableau de vérité, montrer que les propo- x−y
sitions suivantes sont des lois logiques : (2) ∀x, y ∈ R ; y ̸= −3
4 x ⇒ x + y ̸= 7.
(1) (P et Q) ⇒ Q. (3) ∀x, y ∈ R ; x ̸= 1 et y ̸= 1 ⇒ xy + 1 ̸= x + y.
(2) (P et Q) ⇔ (P ou Q). (4) ∀x, y ∈ R ; x ̸= y ⇒ (x + 1)(y − 1) ̸= (x − 1)(y + 1).
(3) P ou Q ⇔ (P et Q). (5) ∀x, y ∈ R ;
(4) (P ⇒ Q) ⇔ (P ou Q). x y
xy ̸= 1 et x ̸= y ⇒ 2 ̸= 2 .
x +x+1 y +y+1
(6) ∀x, y ∈ R ; x ̸= y et x + y ̸= −1 ⇒ x + x ̸= y 2 + y.
2
Exercice 4
Donner la négation des propositions suivantes :
(P ) ∃x ∈ R : x2 − 3x − 1 = 0. Exercice 9 (Raisonnement par absurde)
(Q) ∀n ∈ N : n2 > 1.
(1) Montrer que 0 n’est pas une racine du polynôme
(R) ∀a, b ∈ R : (a2 + b2 > 0) ou (a = b = 0).
P (x) = 2x2 + 3x − 1.
(S) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R tels que x ≤ y.
(2) Soit ABC un triangle qui a pour dimension AB = 3,
(T ) ∃a ∈ R, ∀b ∈ R tels que a ≤ b.
AC = 4 et BC = 6. Montrer que le triangle ABC n’est
(U ) ∀n ∈ N∗ n ̸= 1 ⇒ n ≥ 2.
pas rectangle. r
∗ 2x2 x2
(3) Montrer que ∀x ∈ R 1+ ̸= 1 +
Exercice 5 (Contre exemple) √ √ 3 3
(4) Montrer que 2 ∈ / Q and 3 ∈ / Q.
Montrer que les propositions suivantes sont fausses :
(1) ∀n ∈ N, ∃p ∈ N : p < n. (5)Soient a ∈ Q and b ∈
/ Q. Montrer que a + b ∈
/ Q.
(2) ∀x ∈ R∗+ : x1 > x.
(3) ∀x ∈ R : x2 ∈ Z ⇒ x ∈ Z. (6) Soient x, y, z ∈ R∗+ tels que xyz > 1 et
(4) ∀x ∈ [0, 1] : x2 > x. x + y + z < x1 + y1 + z1 . Montrer que x ̸= 1 et y ̸= 1 et
(5) ∀n ∈ N : (n est pair) ou n2 est pair. z ̸= 1.
1 BAC SC EXP 1 2023-2024
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