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Samenvatting Wiskunde D Continue kansverdeling
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Kansrekening met oa bionomiale verdeling, normaal verdeling en poissonverdelingen.
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anoukkreike
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Hoofdstuk 12 Continue kansverdelingenBinomiale verdeling →
● 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑃𝐷(𝑘, 𝑛, 𝑝)
● 𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) = 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝐶𝐷(𝑘, 𝑛, 𝑝)
Werkschema binomiale kansen berekenen
Van de Nederlanders heeft 41,8% bloedgroep A en 8,6% bloedgroep B. Bereken de kans
dat van 50 willekeurig gekozen Nederlanders er minder dan 3 bloedgroep B hebben.
1. Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele 𝑋
2. Noteer dat 𝑋 binomiaal verdeeld is met 𝑛 en 𝑝
3. Noteer de gevraagde kans met 𝑋 en herleid deze tot een vorm waarin 𝑃(𝑋 = 𝑘) of
𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) voorkomt
4. Bereken de gevraagde kans met de GR
𝑃(𝑋≤2) = 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝐶𝐷(2, 50, 0. 085) ≈ 0, 191
Poissonverdeling
𝑘
−λ λ
● Kans op 𝑘 keer succes → 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑒 · 𝑘!
op [0, 1] met λ gem. # succes op [0, 1]
𝑘
−𝑡λ (𝑡λ)
● Kans op 𝑘 keer succes → 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑒 · 𝑘!
op [0, 𝑡] met λ gem. # succes op [0, 1]
● 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑃𝑖𝑜𝑠𝑠𝑜𝑛𝑃𝐷(𝑘, λ)
● 𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛𝐶𝐷(𝑘, λ)
Werkschema Poissonverdeelde kansen berekenen
In Nederland stormt het gemiddeld 1,5 keer per jaar zo hard, dat er voor meer dan 5 miljoen
euro schade ontstaat. Bereken exact de kans dat er volgend jaar twee van deze stormen
voorkomen.
1. Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele 𝑋
2. Noteer dat 𝑋 binomiaal verdeeld is met 𝑛 en 𝑝
3.
4. Noteer de gevraagde kans met 𝑋 en herleid deze tot een vorm waarin 𝑃(𝑋 = 𝑘) of
𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) voorkomt
zoz
, 5. Bereken de gevraagde kans (evt. met de GR)
→ als exact!!
𝑃(𝑋 = 2) = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛𝑃𝐷(2, 1. 5) ≈ 0, 25... → als niet exact!!
Kansdichtheid → functie waarmee de kansverdeling van een continue toevalsvariabele
wordt beschreven
● bij een continue toevalsvariabele 𝑥 wordt de kansverdeling vastgelegd door de
kansdichtheid 𝑓 waarvoor geldt:
○ 𝑓(𝑥)≥0 voor alle 𝑥 ∈ ℝ
∞
○ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
−∞
𝑏
● er geldt 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Verdelingsfunctie → de verdelingsfunctie van de toevalsvariabele 𝑋 is de functie 𝐹
waarvoor geldt 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋≤𝑥). De verdelingsfunctie van een toevalsvariabele heeft als
functiewaarden cumulatieve kansen
● de functie 𝐹 heeft domein ℝ
● de functie 𝐹 heeft bereik [0, 1], [0, 1〉, 〈0, 1] of 〈0, 1〉
● de functie 𝐹 is niet-dalend
● er geldt lim 𝐹(𝑥) = 0 en lim 𝐹(𝑥) = 1
𝑥 → –∞ 𝑥→∞
Werkschema aantonen of 𝑓 een kansdichtheid is, uniforme verdeling
1. Toon aan dat 𝑓(𝑥)≥0 voor alle 𝑥 ∈ ℝ (voor alle 𝑥), mbv tekening
zoz
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