Dit document is een samenvatting van 'Complexe getallen; 1. Complexe getallen', uit het boek 'VBTL 5 - gevorderde wiskunde' voor het vak Wiskunde in het GO! Onderwijs in de doorstroomfinaliteit/ASO.
1. COMPLEXE GETALLEN
1.1 Imaginaire eenheid i
i² is een vierkantswortel uit -1 i² = -1
1.2 Definitie
Een complex getal is een getal van de vorm z = a + bi (a, b ∈ R ). Alle complexe getallen
samen vormen de verzameling C . a noemen we het reële deel van het complex getal. b
noemen we het imaginaire deel. Als b = 0, is het complex getal een zuiver reëel getal.
Het is duidelijk dat R ⊂ C .
Als a = 0 en b ≠ 0, noemen we het complex getal zuiver imaginair.
2. REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN
2.1 Som en verschil van twee complexe getallen
Algemene formules voor som en verschil van twee complexe getallen
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Tegengestelde complexe getallen
Tegengestelde complexe getallen zijn twee complexe getallen waarvan de som 0 is. Het
tegengestelde getal van een complex getal z wordt met -z genoteerd.
Eigenschappen C , +
∀ z1, z2, z3 ∈C :
1. z1 + z2 ∈C
2. z1 + z2 = z2 + z1
3. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
4. z1 + 0 = 0 + z1 = z1
5. z1 + (- z1) = (- z1) + z1 = 0
2.2 Product van twee complexe getallen
Algemene formule voor product van twee complexe getallen
z1 · z2 = (a + bi) · (c + di)
= ac + bci + adi + bdi²
= ac - bd + bci + adi
Eigenschappen C , ·
∀ z1, z2, z3 ∈C :
1. z1 · z2 ∈C
2. z1 · z2 = z2 · z1
3. (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3)
4. z1 · 1 = 1 · z1 = z1
5. 0 · z1 = z1 · 0 = 0
6. z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3
2.3 Toegevoegde complexe getallen of geconjugeerde van een complex getal
Toegevoegde complexe getallen
1
, Toegevoegde complexe getallen zijn getallen die hetzelfde reële deel maar
tegengestelde imaginaire deel hebben. 5 + 2i is de geconjugeerde van 5 - 2i. z wordt z
met a + bi dat a - bi wordt.
Eigenschappen
∀ z, z1, z2 ∈C :
1. ź = z
2. z + z ∈ R 3. z · z ∈ R
4. z 1+ z2 =z1 + z 2
5. z 1 · z 2=z 1 · z 2
Bewijzen eigenschappen
2.4 Quotiënt van twee complexe getallen
Algemene term
2.5 Omgekeerde van een complex getal
Eigenschap
z · z-1 = z-1 · z = 1
2.6 Machtsverheffing in ℂ
Machten in ℂ
∀ a + bi ∈C : (a + bi)0 = 1
(a + bi)1 = a + bi
n 2: (a + bi)n = (a + bi) · (a + bi) · (a + bi) · … · (a + bi) -> n factoren
Speciale machten in ℂ met i
i1 = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1
2.7 Vierkantswortels uit een negatief reëel getal
Een reëel getal a kleiner dan 0:
2
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