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Notes de cours

Intégrales_Triples_Licence_3_Mathématiques
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  • Paris VI - Université Pierre Et Marie Curie

Notes et résumé de cours sur les intégrales triples, toutes les règles dont vous avez besoins pour résoudre vos exercices. Les mots sont en anglais basique mais la partie mathématiques est faciles à saisir.

Aperçu 1 sur 2  pages

Infos sur le Document

  • 25 novembre 2023
  • 2
  • 2022/2023
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II. Triple integrals :

Let Ω be a bounded domain in ℝ3 .

And : 𝑓 ∶ Ω ⟼ ℝ3
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⟼ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

a continuous function on Ω.

We define the triple integral by :

𝑰 = ∭𝛀 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛). 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛

If : Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ; 𝛾1 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝛾2 (𝑥, 𝑦) ; (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑥𝑦 }
= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ; 𝜓1 (𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦 ≤ 𝜓2 (𝑥, 𝑧) ; (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷𝑥𝑧 }
= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ; 𝜑1 (𝑦, 𝑧) ≤ 𝑧 ≤ 𝜑2 (𝑦, 𝑧) ; (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷𝑦𝑧 }

𝛾 (𝑥,𝑦)
Then : 𝐼 = ∭Ω 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∬𝐷 (∫𝛾 2(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦 1
𝜓 (𝑥,𝑧)
= ∬𝐷 (∫𝜓 1(𝑥,𝑧) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑧
𝑥𝑧 2
𝜑1 (𝑦,𝑧)
= ∬𝐷 (∫𝜑 (𝑦,𝑧) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑦𝑧 2


If : 𝑓 = 1 on Ω :

Then : ∭Ω 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∭Ω 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑉(Ω) (volume of Ω).

❖ Change of variable theorem :

Let : 𝜙 ∶ Ω′ ⟼ Ω
(𝑢, 𝑣, 𝑤) ⟼ (𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤) , 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤) , 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤))

𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
𝜙 is bijective if its Jacobian 𝐽𝜙 is nonzero : 𝐽𝜙 = | |𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 |
≠0
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤|
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤


Then : ∭𝛀 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 = ∭𝛀′ 𝒇(𝒙(𝒖, 𝒗, 𝒘) , 𝒚(𝒖, 𝒗, 𝒘) , 𝒛(𝒖, 𝒗, 𝒘)) | 𝑱𝝓 |. 𝒅𝒖𝒅𝒗𝒅𝒘

▪ If the transformation is done for spherical coordinates :

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 sin 𝜑
{ 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 ; {𝑟 ≥ 0 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 , 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}
𝑧 = 𝑟 cos 𝜃

Then : 𝐽𝜙 = −𝑟 2 sin 𝜑 ⟹ | 𝐽𝜙 | = 𝑟 2 sin 𝜑

▪ If the transformation is done for cylindrical coordinates :

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
{ 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 ; {𝑟 ≥ 0 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 }
𝑧=ℎ

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