Resume
Résumé chapitre 1 Les suites de fonction
- Cours
- Établissement
une résume bien détaillé de chapitre 1 Les suites de fonction
[Montrer plus]
Vendeur
S'abonner
zouhairsabri
Aperçu du contenu
CHAPITRE 1 : LES SUITES DE FONCTIONS1. Introduction
Dans ce chapitre, on considère une suite de fonctions (fn ) dé
nies sur le même ensemble de dé
nition
D ⊂ R et à valeurs réelles ou complexes.
L'idée la plus naturelle est de dé
nir (si elle existe) une fonction f telle que :
x ∈ D, f (x) = lim fn (x)
n→+∞
Si une telle fonction f existe, on dit que f est la limite Simple de la suite (fn ).
Cette notion est la première qui a été utilisée, mais avec cette convergence on n'a pas forcément la
continuité de f même si les fonctions fn sont continues, c'est pour celà qu'on est ramené à étudier une
autre mode de convergence : c'est la convergence Uniforme.
2. Les SUITES de fonctions : définitions et modes de convergence
On note par F (I, R) l'ensemble des fonctions dé
nies sur l'intervalle I ⊂ R à valeurs dans R, c'est
un R-espace vectoriel.
Dé
nitions 2.0.1. On appelle suite de fonctions sur I toute application :
f : J ⊂ N − − − − → F (I, R), f (n) = fn ∈ F (I, R)
On note une suite de fonction par (fn )n∈N) =(fn ).
Exemples 2.0.1.
(i) Les fonctions (fn ) dé
nies sur R, par fn (x) = sin(x + n1 ), forme une suite de fonctions sur R.
(ii) Les fonctions (gn ) dé
nies par x ∈ R+ , gn (x) = 1+nx
nx
, forme une suite de fonctions sur R+ .
2.1. La convergence Simple d'une suite de fonctions.
Dé
nitions 2.1.1. Soit (fn ) une suite de fonctions dé
nies sur I ⊂ R.
1) On dit que la suite de fonctions (fn ) converge en un point x ∈ I , si la suite numérique (fn (x))
converge.
2) On dit que la suite de fonctions (fn ) converge simplement sur I vers une fonction f si :
∀x ∈ I, lim fn (x) = f (x) ou lim |fn − f | (x) = 0
n→+∞ n→+∞
f est appelée limite simple de la suite (fn ), et on écrit :
C.S.sur I
z }| {
fn − − −− → f
Pour x ∈ I , (fn (x)) est considérée comme une suite numérique.
Exemples 2.1.1. 1
, 2
(i) La suite de fonctions (fn ) dé
nie sur ∈ R, par fn (x) = sin(x + n1 ).
On remarque que :∀x ∈ R, limn→+∞ sin(x + n1 ) = sin(x) = f (x) alors :
C.S.sur R
z }| {
fn − − −− → f, avec f (x) = sin(x)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(ii) Considérons la suite de fonctions (fn ) dé
nie par :
x ∈ I = [0, 1], fn (x) = nα xn (1 − x), α∈R
On remarque que : fn (0) = fn (1) = 0 et ∀x ∈]0, 1[, limn→+∞ xn = 0 alors :
∀x ∈ [0, 1], lim fn (x) = 0
n→+∞
Par conséquent :
C.S.sur [0,1]
z }| {
∀α ∈ R, fn − − −− → f, avec f (x) = 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(iii) Considérons la suite de fonctions (hn ) dé
nie sur [0, 1] par :hn (x) = ne−x +x2
n+x .
On remarque que :
2
ne−x + x2 e−x + xn
∀x ∈ [0, 1], lim = lim = e−x
n→+∞ n+x n→+∞ 1 + x
n
alors :
C.S.sur [0,1]
hn − − −− → h, avec h(x) = e−x
z }| {
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(iv) Considérons la suite de fonctions (hn ) dé
nie par :
x ∈ R, hn (x) = nβ e−nx , β∈R
On remarque que :
(a) Pour x ≥ 0 et β ∈ R , on a :
P our x > 0, lim nβ e−nx = 0 et hn (0) = nβ
n→+∞
Par conséquent :
(i) Si β < 0 alors la suite (hn ) converge Simplement sur I1 = [0, +∞[ vers la fonction h telle
que : ∀x ∈ [0, +∞[, h(x) = 0.
(ii) Si β = 0 alors la suite (hn ) converge Simplement sur I1 = [0, +∞[ vers la fonction h telle
que :
0, pour x > 0
h(x) =
1 pour x = 0
(iii) alors la suite (hn ) converge Simplement sur I2 =]0, +∞[ vers la fonction h telle
Si β > 0
que : ∀x ∈]0, +∞[, h(x) = 0.
Mais la suite (hn ) ne converge pas Simplement sur I1 = [0, +∞[.
(b) Pour x < 0, et ∀β , on a : limn→+∞ nβ e−nx = +∞ alors la suite (hn ) ne converge pas
Simplement sur I3 =] − ∞, 0[.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(v) Considérons la suite de fonctions (gn ) dé
nie par x ∈ R, gn (x) = nx2
1+nx2 .
On remarque que :
nx2
gn (0) = 0 et pour x 6= 0 lim =1
n→+∞ 1 + nx2
Alors :
C.S.sur R
z }| {
gn − − −− → g, avec :
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur zouhairsabri. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €10,16. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
80796 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans