Samenvatting van lineaire algebra 2 van de tu delft. Gebaseerd op het boek Lineair algebra and its applications door David. C. Lay
Singular value decomposition, constrained optimization, differential equations, discrete dynamical systems.
17 en 18 Determinanten en applicatie
Determinant 2x2: 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
Determinant 3 x 3 en hoger (enkel vierkante matrixen) → Cofactor expansion
Dit kan je langs enkele rij of kolom doen (kies kol/rij met meeste 0)
𝑛 𝑟𝑖𝑗 + 𝑛 𝑐𝑜𝑙
(− 1) * 𝑎𝑛𝑚 * 𝐷𝑒𝑡(𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥 𝑑𝑎𝑡 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑏𝑙𝑖𝑗𝑓𝑡 𝑛𝑎 𝑛 𝑒𝑛 𝑚 𝑤𝑒𝑔 𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑒𝑝𝑒𝑛) + ...... 𝑒𝑡𝑐 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑗/𝑐𝑜𝑙
Speciale matrix: triangular matrices (driehoekje nullen links onder of rechtsboven):
Det=product van de diagonale waarden.
Wat is een determinant buiten het feit dat je hier inverses mee kan uitrekenen?
Bepaalde transformaties zorgen ervoor dat een oppervlak uitgerekt wordt (shear
transformations), de determinant van deze transformatie matrix vertelt jou eigenlijk met
welke scalar het originele oppervlak (waar je de matrix op loslaat, dus eig verzameling
vectoren) vergroot/verkleint wordt! Als je dit doet voor R3 en hoger, heb je het dus over
volumevergroting, geen oppervlaktes. hoe een rechthoek een parallellogram wordt noem je
dit in 3D een parallelepiped genoemd.Hier kan je ook eigenwaarden mee berekenen, zie hs
19.
19 Eigenwaarden en Eigenvectoren
Check of dit een eigenvector is: Av=λv, dus matrix A loslaten op een vector zorgt voor een
veelvoud van diezelfde vector, hij is met de eigenwaarde langer/korter geworden.
λ → Det(A-λI)=0 (dit is de characteristic equation)
Dit betekent eigenlijk dat we een matrix A-lambda gaan vinden waarvoor hij niet
inverteerbaar is.
Als je deze vergelijking opgelost kan je meerdere keren dezelfde λ vinden, dit geeft aan wat
de algebraic multiplicity is.
Geometric multiplicity: geeft aan hoeveel eigenvectoren corresponderen met dezelfde
eigenwaarde λ. Je kijkt dus naar dim( Null(A-λI))
De geometrische multipliciteit kan nooit hoger zijn dan de algebraic multiplicity.
De som van de algebraïsche multipliciteiten van de eigenwaarden geeft n terug (A=nxn)
Als voor elke eigenwaarde de Geo mult=alg mult, dan is A diagonaliseerbaar (HS 20)
Set eigenvectoren zijn altijd linearly independent
Bij de triangular matrices staat de eigenwaarde op de diagonaal !!!
A is alleen inverteerbaar als:
- 0 is geen eigenwaarde
- De determinant is niet nul
Rekenregels rond determinanten
- Det(AB)=Det(A)*Det(B)
- Det(A^T)=Det(A)
, - Rij optellen bij een andere rij verandert Det(A) niet
- 2 rijen verwisselen maakt Det(A) = -Det(A)
- Een rij vermenigvuldigen met een scalar r geeft, Det(A)=r* Det(A) [Det(rA) is fout!]
20 Diagonalization
Similarity
−1
Als A en B nxn matrixen zijn, dan zijn deze similar als A te schrijven is als 𝐴 = 𝑃𝐵𝑃
Als twee matrices similar zijn, dan hebben ze dezelfde characteristic polynomial, en dus ook
dezelfde eigenwaarden (inclusief hun geo-multipliciteit).
Een matrix is alleen diagonaliseerbaar als deze n linearly independent eigenvectoren heeft.
Dan kan je een eigenvector basis vormen.
−1
Een matrix A is diagonaliseerbaar als A (nxn) te schrijven is als 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur carmenzaky1. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €4,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
