VAN LOT NAAR KANS
1. BASISBEGRIPPEN KANSREKENING & AXIOMATISCHE KANSREKENING
1.1 DE TAAL VAN DE KANS
Nut van kansrekening:
• Risico’s kwantificeren d.m.v. kansen
• Bv. verzekeringsmaatschappij: premies bepalen o.b.v. sterftetabellen
• Bv. kans dat ebola-epidemie uitbreekt
• Bv. kwaliteitscontrole: kans op een defect product
→ Anders dan in het vorige deel stellen we ons niet tevreden met een beschrijving van de veranderlijke
uitkomsten in een bepaalde populatie of steekproef. We willen het proces dat aanleiding geeft tot de
veranderlijke uitkomsten begrijpen zodat we uitspraken kunnen doen over de werkelijkheid los van een
specifieke waarnemingsbasis. Bv. weten hoe zeldzaam een royal flush is, zonder zelf aan pokertafel te gaan zitten.
Focus op stochastisch proces
• Stochastisch proces (=toevalsproces, kansexperiment)
o Uitkomst is onzeker, hangt af van het toeval
o Proces resulteert in bepaalde uitkomsten waaraan telkens een bepaalde waarschijnlijkheid is
gekoppeld. De uitkomsten zijn m.a.w. onzeker.
o Kansvariabelen worden vaak stochasten genoemd, gesymboliseerd door hoofdletter X
o Bv. opgooien van een eerlijke dobbelsteen en aantal ogen noteren
o Bv. politieke voorkeur vragen aan voorbijganger
• Vs. deterministisch proces
o Uitkomst is zeker, hangt niet af van het toeval
o Bv. vaas gevuld met rode knikkers: geblinddoekt knikker kiezen en kleur noteren
o Bv. politieke voorkeur vragen aan NVA-lid
Uitkomstenruimte
• Focus op stochastische processen
• Uitkomstenruimte S = de verzameling van alle mogelijke uitkomsten (exhaustief stelsel = de
elementaire toevalsgebeurens van S vormen een volledig stelsel, m.a.w. ze zijn mutueel exclusief en
exhausief)
o Bv. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Toevalsgebeuren
• Een toevalsgebeuren / gebeurtenis = een specifieke (groep van) uitkomst(en) van een stochastisch
proces, een (deel) verzameling van mogelijk uitkomsten. Genoteerd met hoofdletter (A, B, C…) of xi
o bv. B = {2, 4, 6} = {aantal even ogen gooien}
A = {1}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {minder dan 7 gooien}
∅= lege verzameling “fi” = {negatief aantal ogen gooien}
• Terminologie: een toevalsgebeuren A “doet zich voor” als de uitkomst van een stochastisch proces een
element is van A
1
, • Deelverzameling van de uitkomstenruimte
• Elementair toevalsgebeuren
o Gebeurtenis die slechts 1 element bevat
o Bv. A = {1} is een elementaire gebeurtenis (singleton)
o Verschillende elementaire toevalsgebeurens van hetzelfde stochastisch proces overlappen
niet. → mutueel exclusieve of disjuncte toevalgebeurens als de doorsnede (symbool: ∩) leeg
is.
• Vs. Samengesteld toevalsgebeuren
o Gebeurtenis die meerdere elementen bevat
o Bv. B = {2, 4, 6} = {aantal even ogen gooien}
o Het toevalsgebeuren xi is dan wel samengesteld, een deelverzameling of een partitie uit de
uitkomstenruimte S: xi ⊂ S
Machtsverzameling
• De machtsverzameling M(S) bevat alle mogelijke gebeurtenissen uit S
o Bv. opgooien van 1 eerlijke dobbelsteen: M(S) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3},...,
{1,2,3}, {1,2,4},..., {1,2,3,4,5,6}}
o Lege verzameling is altijd een deelverzameling van S!
o Een verzameling die als elementen opnieuw verzamelingen heeft.
• #M(S) = aantal elementen van M(S)
o Alle S bestaat uit n uitkomsten, dan bestaat de machtsverzameling uit 2n elementen. Notatie:
als #S = n → #M(S) = 2n
o Bv. opgooien 1 eerlijke dobbelsteen: #S = 6 → #M(S) = 26 = 64
o # = “het aantal elementen van of het kardinaatgetal”
Oefening:
• Een vriendenkring bestaat uit zeven vrienden: Anja, Bert, Dirk, Inge, Jef, Lars en Tine.
• Anja en Inge zijn lid van de lokale jeugdvereniging.
• Bert, Dirk, Tine en Inge zijn lid van de lokale sportvereniging.
• Jef, Inge en Tine zijn lid van het lokale koor.
Stel dat je een kansexperiment uitvoert waarbij je focust op de naam van een lid uit deze vriendenkring:
• Wat is de uitkomstenruimte?
o S = {Anja, Bert, Dirk, Inge, Jef, Lars, Tine}
• Welke gebeurtenissen kan je onderscheiden o.b.v. de gegeven info?
o Gebeurtenis A = {Anja, Inge} = {lid zijn van de lokale jeugdvereniging}
o Gebeurtenis B = {Bert, Dirk, Tine, Inge} = {lid zijn lid van de lokale sportvereniging}
o Gebeurtenis C = {Jef, Inge, Tine} = {lid zijn van het lokale koor}
2
,Unie
• De unie van twee verzamelingen A en B is de verzameling die bestaat uit alle elementen
die ofwel in A, ofwel in B, ofwel in beide verzamelingen zitten.
• Bv. geïnteresseerden in even aantal ogen of aantal ogen kleinder dan 3 → A = {2, 4, 6} en
B = {1, 2}
• A of B doet zich voor als de uitkomst ofwel tot A ofwel tot B behoort
• Notatie: A ∪ B (A unie B)
o A ∪ B = {1, 2, 4, 6}
• Voorbeeld: A = {Anja, Inge} , C = {Jef, Inge, Tine}
A ∪ C = {Anja, Inge, Jef, Tine}
Doorsnede
• Doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling die bestaat uit alle elementen die zowel in
A als in B zitten.
• Bv. Geïnteresseerden in even aantal ogen en hoogstens 4 ogen → A = {2, 4, 6} en B = {1, 2, 3, 4}
• A en B doen zich samen voor als de uitkomst zowel tot A als tot B behoort
• Notatie: A ∩ B (A doorsnede B)
o A ∩ B = {2, 4}
o Bv. C = {1} en A = {2, 4, 6} → C ∩ A = ∅ → C en A zijn disjunct
• Voorbeeld: A = {Anja, Inge}, C = {Jef, Inge, Tine}
A ∩ C = {Inge}
Verschil
• Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling die bestaat uit alle elementen van A die
niet in B zitten
• Notatie: A \ B
• Voorbeeld A = {a, b, c, d, e } en B = {a, e, i, k, s, t} dan is A\B = {b, c, d}
Complement
• Bv. Niet geïnteresseerd zijn in even aantal ogen → A = {2, 4, 6} mag zich niet voordoen
• Het complement van A bestaat uit alle uitkomsten die niet in A zitten
• Notatie: Ac = S \ A (A complement of S min A)
o Ac = {1, 3, 5}
o Bv. B = {2, 3, 5, 6} → Bc = {1, 4}
• Voorbeeld: AC = {Lars, Bert, Dirk, Tine, Jef}
Oefenmoment
Gegeven: gebeurtenissen
A = {2, 4, 6} ; B = {1, 3, 4} ;
3
, C = {2} ; D = {1, 2, 4, 6} en S={1,2,3,4,5,6}
Gevraagd:
• A ∩ B = {4}
• A ∪ C = {2, 4, 6}
• D \ A ={1}
• BC = {2, 5, 6}
• (B ∪ D) \ A = {1, 2, 3, 4, 6} \ A = {1, 3}
Disjunct
• A en B zijn disjunct/ mutueel exclusief als hun doorsnede leeg is
(niets gemeenschappelijks)
• Bv. A = {1} en B = {2, 4, 6} zijn disjunct, want A ∩ B = ∅
Exhaustief
• G1, G2, G3 zijn exhaustief als hun unie gelijk is aan de uitkomstenruimte S
• Bv. G1 ={1}, G2 ={2,4,6} en G3 ={2,3,5} zijn exhaustief, want G1 ∪ G2 ∪ G3 = {1,2,3,4,5,6} = S
• Vb. G1 ={2}, G2 ={1,3,4} en G3 ={5,6}
• G1, G2 en G3 vormen samen een partitie van S
• De gebeurtenissen G1, G2, …, Gk vormen een partitie/een volledig stelsel
als ze:
o Exhaustief zijn en
o Twee aan twee disjunct zijn. Bv. G1 = {1}, G2 = {2, 4, 6} en G3 = {3,
5} vormen een partitie
• Speciaal geval: bv. {1}, {2}, {3}, {4}, {5} en {6} vormen een partitie. De
elementaire gebeurtenissen horende bij een kansexperiment vormen steeds een partitie (want ze zijn
mutueel exclusief en exhausief)
Oefening:
• Zijn A en C disjunct? Nee
• Zijn B en {Jef} disjunct? Ja
• Zijn {Inge} en C disjunct? Nee
• Zijn A, B en C exhausief? Nee
• Zijn {Anja, Lars}, B en C exhausief? Ja
Geef een voorbeeld van een partitie voor S. {Anja, Lars} {Bert, Dirk} en {Inge, Tine en Jef}
4
