“Hieronder zijn de oplossingen, om jullie extra informatie aan te reiken bij eventuele problemen
die je ondervindt, soms uitvoeriger uitgeschreven dan op het examen verwacht wordt. Op het
examen wordt wel van je verwacht dat je de berekeningen en redenering die je uitvoert om je
eindresultaat te bekomen nauwkeurig genoeg uitschrijft om die redenering weer te geven. Het
eindresultaat alleen, zelfs als het correct is, zal niet geaccepteerd worden. Een antwoord
bekomen door trial and error zal niet aanvaard worden”.
Vraag 1
a. i. Noteer met y (t ) het aantal gram giftige stof dat in het reservoir van 300 liter aanwezig
is na t minuten.
Om de differentiaalvergelijking op te stellen, redeneren we als volgt.
Hoeveel gram giftige stof vloeit er, na t minuten, per minuut in het reservoir?
Drie liter vervuild water met 2 gram giftige stof per liter, bijgevolg vloeit er 6 gram
giftige stof per minuut in het reservoir.
Hoeveel gram giftige stof vloeit er, na t minuten, per minuut uit het reservoir? Drie liter
y(t ) y(t )
vervuild water met gram giftige stof per liter, bijgevolg vloeit er 3 gram
300 300
giftige stof per minuut uit het reservoir.
De graad van verandering van y (t ) (in gram per minuut), m.a.w. de afgeleide van y (t )
dy
die we als noteren, is dus gelijk aan:
dt
dy y (t )
6 3 .
dt 300
dy
Deze differentiaalvergelijking kan herschreven worden als 0.01y(t ) 6 .
dt
Beginvoorwaarde: y(0) 50 .
dy
ii. De differentiaalvergelijking 0.01y(t ) 6 is van het type LD1CCCR met als
dt
dy
standaardvorm ay b . Omdat a 0 weten we dat de algemene oplossingen van
dt
deze differentiaalvergelijk y(t ) Ce 0.01t 600 is.
Door bovendien de beginvoorwaarde in rekening te brengen vinden we:
y(0) 50 C 550
De particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde is dus:
y(t ) 550e 0.01t 600 .
iii. Om deze limietwaarde te vinden, berekenen we lim y(t ) .
t
lim y (t ) lim Ce 0.01 t 600 0 600 600 .
t t
Op lange termijn zal het water in het reservoir dus 600 gram giftige stof bevatten.
2y
b. Omdat de differentiaalvergelijking y 0 niet van het type LD1CCCR is, gaan we
300 t
na of ze van het type D1SV is. We kunnen de differentiaalvergelijking herleiden tot
, y 2
y 300 t
en stellen vast dat ze inderdaad van het type D1SV is.
We lossen deze vergelijking op als volgt:
1 2
dy
dt
y 300 t
- Door linker- en rechterlid te integreren vinden we:
ln y 2 ln(300 t ) C .
Dit is een impliciete vergelijking van de algemene oplossing van de
differentiaalvergelijking. We kunnen deze expliciet maken en vinden:
C
y .
300 t 2
C
- y , y(0) 50 C 4 500 000 Door bovendien de beginvoorwaarde y (0) 50
300 t
2
in rekening te brengen, vinden we C 4 500 000 en dus de expliciete vergelijking van de
particuliere oplossing:
4 500 000
y
300 t
2
Vraag 2
dy
ty 3ty 2
dt
eerst herschrijven als
dy
3ty 2 ty
dt
vervolgens als
dy
ty 3y 1
dt
en ten slotte als
1 dy
t
y 3y 1 dt
wat aanleiding geeft tot
1
y 3y 1 dy t dt .
De integraal in het linkerlid is via splitsing in partiële breuken te schrijven als
1 3
dy dy . De integralen in linker- en rechterlid berekenen geeft
y 3y 1
3y 1 t 2
ln C1 .
y 2
Hieruit kunnen we de expliciete vergelijking
1
y(t ) t2
3 C e2
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur EllaDubois. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €9,39. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
