The 82nd William Lowell Putnam Mathematical Competition, 2021
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Cours
Mathematics
Établissement
Mathematics
The William Lowell Putnam Mathematics Competition
Is a North American math contest for college students, organized by the Mathematical Association of America (MAA). Each year on the first Saturday in December, several thousands US and Canadian students spend 6 hours (in two sittings) trying to sol...
maa.org/putnam
PUTNAM
Mathematical Competition
Problems for
Session A
The 82nd William Lowell Putnam Mathematical Competition
2021
, William Lowell
maa.org/putnam
PUTNAM
Mathematical Competition
Problems for
Session B
The 82nd William Lowell Putnam Mathematical Competition
2021
, A1 A grasshopper starts at the origin in the coordinate plane and makes a sequence of hops. Each
hop has length 5, and after each hop the grasshopper is at a point whose coordinates are both
integers; thus, there are 12 possible locations for the grasshopper after the first hop. What is
the smallest number of hops needed for the grasshopper to reach the point (2021, 2021)?
Answer: 578.
Solution: Each hop can be described by a displacement vector hp, qi with p2 + q 2 = 25 ; the
twelve possible vectors are
To show that it cannot be done with fewer, note that each hop can increase the sum of the
grasshopper’s coordinates by at most 3 + 4 = 7. Because this sum has to reach
2021 + 2021 = 4042 = 7 · (577) + 3 ,
at least 578 hops are needed.
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