Garantie de satisfaction à 100% Disponible immédiatement après paiement En ligne et en PDF Tu n'es attaché à rien
logo-home
Mathématiques - Plan d’étude d’une fonction €5,49   Ajouter au panier

Autre

Mathématiques - Plan d’étude d’une fonction

 2 vues  0 fois vendu
  • Cours
  • Établissement

Ce document est un cours de mathématiques qui couvre divers sujets liés au calcul et aux fonctions. Le cours est divisé en trois unités, chaque unité couvrant différents sous-thèmes. L'unité 1 s'intitule "Quelques compléments" et couvre des concepts supplémentaires liés au calcul diff...

[Montrer plus]

Aperçu 3 sur 19  pages

  • 1 mars 2023
  • 19
  • 2020/2021
  • Autre
  • Inconnu
avatar-seller
L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas




Module 3:
Plan d’étude d’une fonction

Table des matières

Unité 1 - Quelques compléments ........................................................................................................2
I - Théorème des valeurs intermédiaires ....................................................................................................2
1 ) Enoncé du théorème............................................................................................................................................... 2
2 ) Exemples ............................................................................................................................................................... 2
II - Théorème de la bijection........................................................................................................................4
III - Fonctions réciproques ..........................................................................................................................4
1 ) Définition et existence d’une fonction réciproque ................................................................................................. 4
2 ) Exemple de détermination de la fonction réciproque............................................................................................. 5
3 ) Autres propriétés .................................................................................................................................................... 6
IV - Quelques fonctions de référence ..........................................................................................................7
Unité 2 - Plan d’étude d’une fonction ................................................................................................8
I - Domaine de définition ..............................................................................................................................8
II - Parité, périodicité, conséquences graphiques ......................................................................................9
1 ) Parité ...................................................................................................................................................................... 9
2 ) Périodicité ............................................................................................................................................................ 10
III - Limites aux bornes : asymptotes parallèles aux axes ......................................................................10
IV - Variations de la fonction.....................................................................................................................10
V - Tableau de variations complet avec précision des extrema ..............................................................11
VI - Etude des branches infinies ................................................................................................................11
VII - Intersection avec les axes ..................................................................................................................12
VIII - Représentation graphique ...............................................................................................................12
1 ) Définir et tracer le repère ..................................................................................................................................... 12
2 ) Tracer les asymptotes éventuelles ........................................................................................................................ 12
3 ) Placer les extrema ................................................................................................................................................ 13
4 ) Placer les points particuliers ................................................................................................................................ 13
5 ) Tracer la courbe représentative ............................................................................................................................ 13
Unité 3 - Exemples : ..........................................................................................................................14




Page

,L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas




Module 3:
Plan d’étude d’une fonction

Unité 1 - Quelques compléments


I - Théorème des valeurs intermédiaires

1 ) Enoncé du théorème

Théorème :

▪ Soit f une application continue sur I
▪ Soient I un intervalle, a et b  I avec a  b
▪ Soit   R compris entre f ( a ) et f (b)


Alors, il existe au moins un réel c dans  a, b tel que : f (c) = 
(ie l’équation f ( x) =  admet au moins une solution dans  a, b  )

Le théorème des valeurs intermédiaires est d’une compréhension assez intuitive. Si une fonction est
continue entre deux abscisses a et b, elle prend toutes les valeurs comprises entre leurs images f(a) et
f(b) ; et réciproquement.


2 ) Exemples

1- Etape du tour de France : PAU - HAUTACAM
▪ Etape de 156 km.
▪ Ville de départ : PAU, altitude 200m
▪ Ville d’arrivée : HAUTACAM, altitude 1520m




Profil de l'étape Pau-Hautacam du Tour de France 2008


Page

, L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas



Le profil de l'étape est une fonction définie sur l'intervalle [0;156] et à valeurs réelles.

À tout nombre x de [0;156], elle associe l'altitude du point situé à x kilomètres du départ.

Puisque les altitudes s'échelonnent au moins de 200 à 1 520m (certaines peuvent être inférieures à
200m et d’autres supérieures à 1520m), il paraît évident que les coureurs ont dû passer au moins une
fois par toutes les altitudes intermédiaires.

Cependant, cette constatation s'appuie sur deux hypothèses :

• le parcours est un intervalle, ce qui suppose que l'espace est un continuum, c'est-à-dire qu'il n'y
a pas de « trou » entre 0 et 156.
• la fonction altitude est continue, ce qui signifie qu'une variation infinitésimale du kilométrage
entraîne une variation infinitésimale de l'altitude : en d'autres termes, un coureur ne peut pas
se téléporter instantanément d'une altitude à une autre.


Illustration : cas où  = 1000 m

Le coureur passera ainsi au moins une fois par l'altitude 1 000 m.

Le théorème des valeurs intermédiaires formalise ce raisonnement empirique :


Il existe au moins un réel c   0;156 tel que : f (c) = 1000


2- Polynôme de degré impair :

Toute fonction polynôme P ( x) , à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle
(ie telle que P ( x ) = 0 ).


En effet, le degré de P ( x) étant impair, on a :


lim P( x) = − et lim P( x) = +
x →− x →+



Donc :
▪ a  R / x  a, on ait P( x)  0

▪ b  R / x  b, on ait P( x)  0


Comme P ( x) est une fonction continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer
l’existence d’un réel c tel que : P(c) = 0 .




Page

Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:

Qualité garantie par les avis des clients

Qualité garantie par les avis des clients

Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.

L’achat facile et rapide

L’achat facile et rapide

Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.

Focus sur l’essentiel

Focus sur l’essentiel

Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.

Foire aux questions

Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?

Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.

Garantie de remboursement : comment ça marche ?

Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.

Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?

Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur vivin02pro. Stuvia facilite les paiements au vendeur.

Est-ce que j'aurai un abonnement?

Non, vous n'achetez ce résumé que pour €5,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.

Peut-on faire confiance à Stuvia ?

4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)

78998 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours

Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans

Commencez à vendre!
€5,49
  • (0)
  Ajouter