Examen
Tentamen (uitwerkingen) Wiskunde B 2013 CCVX Antwoorden
- Cours
- Type
Antwoorden opgaven Examen Wiskunde b CCVX 2013 januari.
[Montrer plus]
Vendeur
S'abonner
abwrdan45
Aperçu du contenu
Centrale Commissie Voortentamen WiskundeUitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Voorlopige versie 29 januari 2013
Opgave 1a
√
Schrijf f (x) = x · g(x) met g(x) = 9 − x2 .
−x
? g(x) = (9 − x2 )1/2 , dus g0 (x) = 1
2 · (9 − x2 )−1/2 · −2x = √ .
9 − x2
√ x2
? Dit geeft f 0 (x) = 1 · g(x) + x · g0 (x) = 9 − x2 − √ .
9 − x2
√ x2 q
? f 0 (x) = 0 ⇔ 9 − x2 = √ ⇔ 9 − x2 = x2 ⇔ x2 = 4 12 ⇔ x = ± 4 12
9 − x2 q
? In de grafiek zien we dat f een maximum heeft voor x = + 4 12
q
(en een minimum voor x = − 4 12 ).
q q q q 2
? f 4 12 = 4 12 · 9 − 4 21 = 4 12 = 4 12
Opgave 1b
? f (x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 9 − x2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = −3.
R3 R3 R3
? Te berekenen is dus π · ( f (x))2 dx = π · x2 (9 − x2 ) dx = π · 9x2 − x4 dx
0 0 0
h i3
? . . . = π · 3x3 − 51 x5 = π · (3 · 27 − 51 · 243) − (0 − 0) = π · 32 25 ofwel 32,4π.
0
Opgave 2a
? A en B liggen beide op C1 met middelpunt M, dus |AM| = |BM|
? l is de raaklijn aan C1 in A en O ligt op l, dus ∠OAM = 90◦
m is de raaklijn aan C1 in B en O ligt op m, dus ∠OBM = 90◦
? Dit betekent dat driehoek AOM en driehoek BOM congruent zijn volgens congruentiege-
val ZZR:
Z: |AM| = |BM|
Z: zijde OM is gemeenschappelijk
R: ∠OAM = 90◦ ; ∠OBM = 90◦
? En hieruit volgt weer dat ∠AOM = ∠BOM
(overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken).
Opgave 2b
? De redenering uit a geldt ook voor C2 , dus geldt ∠DON = ∠EON
? ∠AOB = ∠DOE (overstaande hoeken)
? Hieruit volgt ∠AOM = 12 ∠AOB = 12 ∠DOE = ∠DON
? ∠AOM en ∠DON zijn dus overstaande hoeken.
? MO en ON liggen daarom in elkaars verlengde, wat betekent dat O op de rechte lijn door
M en N ligt.
, 2
Opgave 3a
1 · (x2 − 2) − x · 2x −2 − x2
? f 0 (x) = 2
=
x2 − 2 x2 − 2 2
? De raaklijn heeft een vergelijking van de vorm y = ax + b.
−2 − 4 −6
Invullen van a = f 0 (2) = = = −1 21 , x = xP = 2 en y = yP = 1 geeft
(4 − 2)2 4
1 = −1 12 · 2 + b ⇔ 1 = −3 + b ⇔ b = 4.
De vergelijking van de raaklijn is dus y = −1 21 x + 4.
? y = −1 12 x + 4 met y = 0 geeft 0 = −1 21 x + 4 ⇔ 23 x = 4 ⇔ x = 83 = 2 23 .
y = −1 21 x + 4 met x = 0 geeft y = 4.
Q is zodoende het punt (2 23 ,0) en R is het punt (0,4).
? De oppervlakte van driehoek OQR is dus 12 · 38 · 4 = 16 3 = 53.
1
Opgave 3b
? F is een primitieve van f als F 0 (x) = f (x).
Differentieer F daarom met de kettingregel.
? Schrijf F(x) = 12 ln (u(x)) met u(x) = 2 − x2 .
u0 (x)
Dan volgt F 0 (x) = 21 ·
u(x)
1
−2x 2 · 2x x
? Dit geeft F 0 (x) = 21 · 2
= = = f (x).
2−x −(2 − x2 ) x2 − 2
Opgave 3c
? F(x) is niet gedefinieerd als 2 − x2 ≤ 0 ⇔ x2 − 2 ≥ 0.
Omdat f (x) niet gedefinieerd is als x2 − 2 = 0, zoeken we naar een formule die geldt als
x2 − 2 > 0.
? In dat geval is de functie G(x) = 21 ln x2 − 2 wel gedefinieerd.
2x
? G0 (x) = 21 · 2 = f (x), dus G is ook een primitieve van f .
x −2
Alternatief:
1
? Een primitieve van de functie h(x) = is H(x) = ln |x|.
x
Probeer daarom de functie G(x) = 2 ln 2 − x2 .
1
? Voor de waarden van x uit het domein van f waarvoor F(x) niet gedefinieerd
is,
geldt 2 − x2 < 0. Dan geldt dus 2 − x2 = x2 − 2 en G(x) = 12 ln x2 − 2 .
2x
? Voor deze waarden van x geldt G0 (x) = 12 · 2 = f (x).
x −2
Opgave 3d
x
? f (x) = −1 ⇔ 2 = −1 ⇔ x = −x2 + 2 ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔
x −2
(x − 1)(x + 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −2
? De oppervlakte van het vlakdeel wordt zodoende gegeven door
R1 R1
f (x) − (−1) dx = f (x) + 1 dx.
0 0
Met het snijpunt bij x = −2 sluiten de grafiek van f , de y-as en de lijn y = −1 geen vlak-
deel in!
R1
? f (x) + 1 dx = [F(x) + x]10
0
? . . . = 12 ln(1) + 1 − 12 ln 2 + 0 = 0 + 1 − 21 ln(2) − 0 = 1 − 21 ln(2)
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur abwrdan45. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €5,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
73314 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans