Résumé Mathématique sur les fonctions exponentielles 2
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Cours
Mathématique
Établissement
High School
Ceci un cours résumé de la leçon des fonctions exponentielles 2 .Il est assez court bref et va directement au vif du sujet donc vous retrouvez dessus toutes les notions fondamentales pour assimiler comme il se doit ce cours
Fonction exponentielle
I) Fonction exponentielle népérienne.
Activité : Conséquences
1) Montrer que la fonction ln admet une fonction réciproque définie sur IR. La fonction exp est définie,
Définition: La fonction réciproque de la fonction ln est une fonction définie continue et dérivable sur IR, et
sur IR est appelée la fonction exponentielle népérienne ou naturelle et se pour tout réel on a :
note exp . donc exp( x) = y x = ln y avec x IR et y 0 exp( x ) = e x et ex ' = ex . ( )
2) Calculer exp(0) et exp(1) . ..e 2,7182818284 59045235 ▪ Le nombre e est un nombre
irrationnel tel que:
3) déduire que la fonction exp est continue , dérivable et strictement
croissante sur IR. ▪ Si u est dérivable sur I,
4) Etudier le signe de la fonction exp sur IR. alors la fonction x e u( x )
5) En déduire que pour tout couple (a; b) de réels on a : est dérivable sur I et on a :
exp a 1 ( eu( x ) ) ' = u( x)eu( x ) .
o exp ( a + b ) = exp(a ) exp(b) ; exp ( a − b ) = et exp ( −a ) =
exp b exp a Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b , on a :
6) Tracer la courbe de la fonction exp dans un repère orthonormé (O, i , j ) . ▪ ea eb = ea + b
exp x
7) En déduire les limites suivantes : xlim exp( x ); lim exp( x ) et lim . ea 1
→+ x →− x →+ x ▪ = ea−b et a
= e−a
eb e
8) Déterminer exp'( x) et ( exp(u( x ))) ' tel que u une fonction dérivable .
(e ) (n )
n
▪ a
= e na
exp( x ) − 1
9) Calculer lim
x →0
et donner l’équation de la tangente de (Cexp ) au ▪ e ln b
=b avec b>0
x
Equations et inéquations
point B(0;1) .
Pour tous réels x et y , on a :
10) Montrer que ( r Q ) :exp(r ) = e r .
▪ ex 0
▪ ex = e y x = y
Définition :
▪ ex e y x y
On appelle fonction x = ln y
exponentielle, la ▪ ex = y
y 0
fonction réciproque Limites ( n IN )
de la fonction • lim e x = + • lim e x = 0
x →+ x →−
logarithme népérien. x
e ex
L’image d’un réel x • lim = + • lim = +
x →+ x x →+ x n
par la fonction • lim xe x = 0 • lim x n e x = 0
x →− x →−
exponentielle
e −1 x
est notée e x • lim =1
x→0 x
Corollaire :Si u est une fonction dérivable sur I, alors
la fonction x u( x )e u( x ) admet des primitives de la
forme : x e u( x ) + c où c est une constante réelle.
II) Fonction exponentielle de base a avec a 0 ;1 1 ; + .
Définition: La fonction réciproque de la fonction log a est une fonction définie sur IR est appelée la fonction
exponentielle de base a et se note expa tel que : expa ( x) = a x = e x ln a .
Dérivée de la fonction x ax : ( x IR) ;expa'( x) = (a x )' = (e x ln a )' = (ln a).e x ln a = (ln a).a x
logb ( x )
Remarques : expe ( x ) = e x ; loge ( x ) = ln x ; loga (a ) = 1 ; loga ( x ) = (changement de base )
logb (a )
Pr: BELKHYR ABDELAZIZ 2019/2020
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