Bij Quantum Engineering & Applications (TN2306) wordt ingegaan op thema's uit de categorieën Quantum bits and entanglement met daarbijbehorende quantum circuits, Quantum communication en Quantum computing over zowel algoritmen als hardware. Het vak wordt gegeven in het vierde octaal van de Minor M...
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TN2306 UITWERKINGEN WERKCOLLEGES
Quantum Engineering and
Applications
TN2306
Uitwerkingen opgaven
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Inhoudsopgave
Inhoudsopgave 2
College 1 De qubit 3
College 2 2 qubits 9
College 3 Kwantumcircuits 14
College 4 Kwantumcomputer 18
College 5 Kwantumencryptie 21
College 6 Kwantumhardware I 30
College 7 Kwantumalgoritmen 33
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College 1 De qubit
Problem 1
a) Calculate the eigenvalues and eigenstates of the following matrices:
⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 −i ⎞
σz = ⎜ σx = ⎜ σy = ⎜
⎝ 0 −1 ⎟⎠ ⎝ 1 0 ⎟⎠ ⎝ i 0 ⎟⎠
b) Show that the three matrices above are hermitian and unitary.
c) Calculate the commutator between the three matrices above
Problem 2
Consider the basis states
⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
0 →⎜ , 1 →⎜
⎝ 0 ⎟⎠ ⎝ 1 ⎟⎠
Using the bra-ket notation, we can write σ z in the following form: σ z = 0 0 − 1 1
a) Write σ x and σ y in bra-ket notation.
b) Use bra-ket notation to calculate the commutators between the three matrices.
c) The operator σ + and σ − take 0 to 1 and 1 to 0 , respectively.
Write σ + and σ − in bra-ket notation and as matrices.
B.
⎡⎣σ x , σ y ⎤⎦ = ( 0 1 + 1 0 ) ( i 1 0 − i 0 1 ) − ( i 1 0 − i 0 1 ) ( 0 1 + 1 0 )
= i 0 1 |1 0 − i 0 1 | 0 1 + i 1 0 |1 0 − i 1 0 | 0 1 − i 1 0 | 0 1 − i 1 0 |1 0 + i 0 1 | 0 1 + i 0 1 |1 0
= i 0 •1• 0 − i 0 • 0 • 1 + i 1 • 0 • 0 − i 1 •1• 1 − i 1 •1• 1 − i 1 • 0 • 0 + i 0 • 0 • 1 + i 0 •1• 0
= i 0 0 − i 1 1 − i 1 1 + i 0 0 = 2i 0 0 − 2i 1 1 = 2i ( 0 0 − 1 1 ) = 2iσ z
⎡⎣σ x , σ z ⎤⎦ = ( 0 1 + 1 0 ) ( 0 0 − 1 1 ) − ( 0 0 − 1 1 ) ( 0 1 + 1 0 )
= 0 1 | 0 0 − 0 1 |1 1 + 1 0 | 0 0 − 1 0 |1 1 − 0 0 | 0 1 − 0 0 |1 0 + 1 1 | 0 1 + 1 1 |1 0
= 0 • 0 • 0 − 0 •1• 1 + 1 •1• 0 − 1 • 0 • 1 − 0 •1• 1 − 0 • 0 • 0 + 1 • 0 • 1 + 1 •1• 0
= − 0 1 + 1 0 − 0 1 + 1 0 = −2 0 1 + 2 1 0 = 2 ( 1 0 − 0 1 ) = −2i ( i 1 0 − i 0 1 ) = −2iσ y
⎡⎣σ y , σ z ⎤⎦ = ( i 1 0 − i 0 1 ) ( 0 0 − 1 1 ) − ( 0 0 − 1 1 ) ( i 1 0 − i 0 1 )
= i 1 0 | 0 0 − i 1 0 |1 1 − i 0 1 | 0 0 + i 0 1 |1 1 − i 0 0 |1 0 + i 0 0 | 0 1 + i 1 1 |1 0 − i 1 1 | 0 1
= i 1 •1• 0 − i 1 • 0 • 1 − i 0 • 0 • 0 + i 0 •1• 1 − i 0 • 0 • 0 + i 0 •1• 1 + i 1 •1• 0 − i 1 • 0 • 1
=i 1 0 +i 0 1 +i 0 1 +i 1 0
= 2i 1 0 + 2i 0 1 = 2i ( 0 1 + 1 0 ) = 2iσ x
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