Hoofdstuk I: “De bouwstenen”
I.1 Wiskundige taal, notaties en bewijzen
Definitie: nieuwe verzamelingen uit twee verzamelingen A en B
❖ Unie = de verzameling van objecten die behoren tot A of B.
➢ A ⋃ B = {x | x ϵA of x ε B}
❖ Doorsnede = de verzameling van objecten die behoren tot A en B.
➢ A ∩ B = {x | x ε A en x ε B}
❖ Verschil = de verzameling van objecten die behoren tot A maar niet tot B.
➢ A＼B = {x | x ε A en x ∉ B}
❖ Cartesiaans product = de productverzameling van de koppels (= geordende
tweetallen (a,b)) waarbij a behoort tot A en b behoort tot B.
➢ A X B = {x | a ε A en b ε B}
Propositie: basiseigenschappen van orde en vermenigvuldiging in R
1) Voor alle reële getallen x, y en z geldt: als x < y en y < z, dan is x < z
2) Voor alle reële getallen x, y en z geldt: als x < y en z > 0 dan is xz < yz
Regels voor het bewijzen
Directe bewijzen
Bewering die begint met ∃ (“er bestaat een”) → geef een expliciet voorbeeld
Bewering die begint met ∀ (“voor alle geldt”) → begin met “Kies een willekeurige …”
Bewijzen door gevalsonderscheid → gevallen onderscheiden
Bewijzen door contrapositie
Om uitspraak p ⇒ q te bewijzen, is het soms handiger om (niet p) ⇒ (niet q) te bewijzen.
Bewijzen uit het ongerijmde
Veronderstel dat het te bewijzene niet waar is en leidt zo een contradictie af.
Bewijzen met inductie
1) Start: 1 ϵ S
2) Inductiehypothese
3) Inductiestap
1
,I.2 Getallenverzamelingen
De structuur van Q
Eigenschappen van de optelling in Q
1) + is associatief: COMMUTATIEVE
∀𝑥, 𝑦, 𝑧: (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) GROEP
2) 0 is neutraal element: ∀𝑥: 𝑥 + 0 = 𝑥 = 0 + 𝑥
3) ∀𝑥, ∃𝑦: 𝑥 + 𝑦 = 0 = 𝑦 + 𝑥
4) + is commutatief: ∀𝑥, 𝑦: 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
Eigenschappen van de vermenigvuldiging in Q
5) ・is associatief: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧: (𝑥𝑦) 𝑧 = 𝑥 (𝑦𝑧) COMMUTATIEVE
6) 0 is neutraal element: ∀𝑥: 𝑥1 = 𝑥 = 1𝑥 GROEP
7) ∀𝑥, ∃𝑦: 𝑥𝑦 = 1 = 𝑦𝑥
8) ・is commutatief: ∀𝑥, 𝑦: 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
Eigenschap die ・verbindt met + 1→9
9) ・is distributief tov +: VELD
∀𝑥, 𝑦, 𝑧: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧)
Eigenschappen die de bewerkingen verbinden met de orde 1 → 11
10) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧: 𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧
11) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧: (𝑥 ≤ 𝑦 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑧) ⇒ 𝑥𝑧 ≤ 𝑦𝑧 GEORDEND VELD
Eigenschap verschil tussen orde op N en Z en die op Q TOTAAL GEORDEND
12) ∀𝑥, 𝑦: 𝑥 ≤ 𝑦 𝑜𝑓 𝑦 ≤ 𝑥 VELD
Eigenschap verschil tussen orde op N en Z en die op Q DICHT TOTAAL
12) ∀𝑥, 𝑦 𝑚𝑒𝑡 𝑥 < 𝑦, ∃𝑧: 𝑥 < 𝑧 < 𝑦 GEORDEND VELD
Proposities: begrensdheid van een niet-lege deelverzameling A
❖ A is naar boven begrensd door x: ∀𝑎 ε 𝐴: 𝑎 ≤ 𝑥 Als A een majorant en minorant
❖ A is naar onder begrensd door x: ∀𝑎 ε 𝐴: 𝑥 ≤ 𝑎 heeft, noemen we ze begrensd.
❖ A heeft een maximum M: ∀𝑎, 𝑀 ϵ 𝐴: 𝑎 ≤ 𝑀 Een max. en min. moeten tot A
❖ A heeft een minimum m: ∀𝑎, 𝑚 ϵ 𝐴: 𝑚 ≤ 𝑎 behoren.
❖ A heeft een infimum als A een grootste Als A een max. en min. heeft of
ondergrens heeft. begrensd is, dan heeft A een
❖ A heeft een supremum als A een kleinste infimum en een supremum.
bovengrens heeft. Omgekeerd geldt dit niet.
2
,Propositie: de structuur van R
R heeft de supremumeigenschap R is het enige
12) dat hieraan
∀𝐴 𝑐 𝑅, 𝐴 ≠ φ, 𝐴 𝑖𝑠 𝑛𝑎𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑣𝑒𝑛 𝑏𝑒𝑔𝑟𝑒𝑛𝑠𝑑 ⇒ 𝑠𝑢𝑝(𝐴) 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑖𝑛 𝑅 voldoet.
12)
∀𝐴 𝑐 𝑅, 𝐴 ≠ φ, 𝐴 𝑖𝑠 𝑛𝑎𝑎𝑟 𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑔𝑟𝑒𝑛𝑠𝑑 ⇒ 𝑖𝑛𝑓(𝐴) 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑖𝑛 𝑅
Definitie: de verzameling Q in R
Q is dicht in R: 𝐴𝑙𝑠 𝑥, 𝑦 ϵ 𝑅 𝑒𝑛 𝑥 < 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑒𝑟 𝑒𝑒𝑛 𝑞 ϵ 𝑄 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑥 < 𝑞 < 𝑦.
Definitie: Binomium van Newton
Als 𝑎, 𝑏 ϵ 𝑅 𝑒𝑛 𝑛 ϵN0. Dan is
Binominiaalcoëfficiënt:
Propositie: eigenschap voor Binomium van Newton
3
, Definitie: intervallen
Interval = een niet lege deelverzameling I van R waarvoor elk element van R dat tussen
twee elementen van I ligt, tot I behoort.
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑧 ϵ 𝑅 𝑒𝑛 𝑥, 𝑦 ϵ 𝐼 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑥 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑜𝑒𝑡 𝑧 ϵ 𝐼.
1) Open interval = als A leeg is of als er rond elk punt 𝑎 ϵ 𝐴 een open interval bestaat
dat helemaal in A ligt.
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑒𝑟 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑘𝑒 𝑎 ϵ 𝐴 𝑒𝑒𝑛 δ > 0 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 ]𝑎 − δ, 𝑎 + δ[ ⊆ 𝐴.
2) Gesloten interval = als en slechts als R＼A open is.
Propositie: oefening 4 (p32)
Als A naar beneden begrensd is, dan is -A naar boven begrensd en sup(-A) = -inf(A).
Propositie: oefening 6 (p32)
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑐, 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑠 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑑.
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑠 − 𝑎 ≥ − 𝑏.
Algebraïsche structuur van Rn (op natuurlijke manier rekenen)
Definitie: vectorruimte
V is een vectorruimte over R. Rn is dus een vectorruimte over R. De elementen van Rn
noemt men daarom ook vectoren.
Definitie: de basis van Rn
Standaardbasisvectoren in Rn
Lineaire combinatie van de vectoren e1, e2, e3, … , en :
Een basis van Rn = elke deelverzameling van vectoren uit Rn waarvoor elke x ε Rn op juist
één manier geschreven kan worden als lineaire combinatie van die vecoren.
➢ Standaardbasis van Rn = de basis van Rn met de standaardbasisvectoren.
4
