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Probabilité et statistiques
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Les statistiques sont construites sur les probabilités : sans probabilités, les statistiques sont des recettes de cuisine difficiles `a comprendre et donc `a mémoriser.
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Probabilité et statI. Probabilité
Statistique: branche des mathématiques ayant pour objet l’analyse et l’interprétation des données
quantifiables. Exemples fondamentaux : diversité écologique, temps de division des cellules, tailles
des étudiants.
- Décrire des données:
Tableau des effectifs, des fréquences, moyenne, médiane (stat descriptive)
Histogramme (manque de précision)
Problèmes : effectif et classes (taille des classes)
Notion d’histogramme:
On fixe l4aire, l’Aire de tous les histogrammes normalisés à 1 afin de pouvoir les comparer pour une
meilleure visualisation du monde stat descriptive
II. Statistique
Pour prédire et ne pas seulement décrire
Se concentre sur les probabilités continues donc sur le tirage au hasard pour en tirer des
informations (variance/espérance)
A. Loi de probabilité
: Univers: ensemble des possibilités, souvent =R ou = [0 ;+]
Evènement : fait partie de : A C donc A= évènement
Probabilité, sur : est une application P qui prend les évènements et renvoie à un nombre entre 1 et 0
qui vérifie:
o P ()=1
o Si A et B disjoints : P(A) U P(B)=P(A) x P(B)
PROPRIETE: P( Ac )=1-P(A) et P(AUB)=P(A)+ P(B)+P(AB)
PREUVE:
1. P(A U Ac)=1=P()
De plus A et Ac sont disjoint donc P(AUA)=P(A) + P(Ac )
2. On a : AUB= (A/B) U (AB) U (A\B) On peut donc dire : P(AUB)= P(A/B)+(AB)+P(A\B)
Mais A= (A/B) U (AB) donc P(A)= P(A/B)+P(AB)
De même B= (A/B) U (AB) donc P(B)=P(A/B)+P(AB)
Somme des 3 probabilités : P(AUB)=P(A)- P(AB)+P(B)+ P(AB) :autant qu’au début
B. Variable aléatoire
Variable aléatoire : une fonction de dans R, on prend un nombre au hasard:
Exemple : ={1,…,6}
On lance deux dés à 6 faces et on regarde la somme des dés
L’application X : x R soit x1*x2 x1+x2
La loi d’une variable aléatoire est une probabilité défini sur R par P(XA)=Px(A)
Exemple : ={1,…,6}x{1,…,6}
1 1 1 1 2 1
P({i,j})= x = 36 Donc P(X=2)= et P(X=3)= =
6 6 ¿ 36 36 18
¿
, C. Densité
1. Intégrale
A
Intégrale : On dit que f de est une intégrale si Alim
→+ ∞
¿ ∫ ¿ f ( x )∨¿ ¿dx est f(x)
−A
+∞ A
Dans ce cas : ∫ f ( x ) dx = Alim
→+ ∞
∫ f ( x ) dx
−∞ −A
Exemple : f : x f(x)=0 si x<0 et e-x si x>0
+∞ A 0 A
∫ f ( x ) dx = Alim
→+ ∞
f (x) ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx
−∞ −A −A 0
A
−x
Donc : ∫ e dx= [-e-x]0A = 1-e-A
0
+∞
−1
Donc : ∫ f ( x ) dx = Alim
→+ ∞
1−e =1
−∞
2. Densité
+∞
Densité : f de R dans R est une densité si f(x)>0 pour tout x et ∫ f ( x ) dx =1
−∞
PROPRIETE: Soit f la densité et X:(,P)R une variable aléatoire. On dit que f est la densité de X si
b
pour tout point [a, b] C R P(XA)=∫ f ( x ) dx
a
2
−x
Si on prend une variable aléatoire qui à pour densité f; P(x [1, 2])=∫ e dx=[-e-x]12=e-e2
1
Densité : limite des histogrammes lorsqu’il y a beaucoup de donnés, sert à calculer des probabilités.
Exemple 1 : Soit f de R dans R une fonction tel que f(x)=0 si x<0 et e-x si x>0
+∞ 0 +∞ +∞ +∞
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx=∫ e−x dx=[-e -x
]0+=1-e-2=1
−∞ −∞ 0 0 0
3
−x
On peut calculer P ([2, 3]) = ∫ e dx=[-e-x]0+=-e-2-e-3
2
1
Exemple 2 : Pour a<b, on définit pour tout x R f(x)=0 si x[a, b] et si x[a, b]
b−a
1
b>a donc b-a>0 donc > 0 donc f(x)>0
b−a
+∞ a b +∞ b b
1 b−a
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) d x+ ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx =∫ b−a
dx =
b−a
=1
−∞ −∞ a b a a
f est une fonction de densité
On peut calculer P(X[0.7; 0.85]) avec a=0 et b=1
0.85
1
= ∫ 1−0 dx =0.85-0.7=0.15
0.7
( x−m)2 1 -
Exemple 3: m est un nombre et >0, on définit pour tout xR f(x)= e
√2❑2 22
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