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Samenvatting Wiskunde II deel differentiaalvergelijkingen
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- Wiskunde II
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- Universiteit Gent (UGent)
Wiskunde II deel differentiaalvergelijkingen
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Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en eerstegraad
Een DVG van de 1ste orde en van de 1ste graad kan steeds geschreven worden als
⇔
'
M ( x , y )+ N ( x , y ) y =0❑ M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy =0
Scheiden in veranderlijken
Als de DVG geschreven kan worden als
f ( x ) dx=g ( y ) dy
dan zegt men dat de veranderlijken kunnen gescheiden worden. Dit is het geval als M en N als een
product van een functie in x en met een functie in y kunnen geschreven worden of:
M ( x , y )=f 1 ( x ) f 2 ( y ) en N ( x , y )=g1 ( x ) g2 ( y )
OPLOSSINGSMETHODE
Dan is de DVG M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 gelijkwaardig met
⇒
❑ f 1 ( x ) f 2 ( y ) dx+ g 1 ( x ) g 2 ( y ) dy=0
We vinden de oplossing uit
⇔ f 1(x) g ( y)
❑∫ dx=−∫ 2 dy (g 1 ( x ) ≠0 , f 2 ( y ) ≠ 0)
g1 ( x ) f 2( y )
Homogene diff erenti aalvergelijking
Een DVG M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 is homogeen als M ( x , y ) en N ( x , y ) homogeen zijn van
dezelfde graad. Een functie f (x , y ) is homogeen van de n-de graad in x en y als voor elke λ geldt:
n
f ( λx , λy )=λ f ( x , y )
Praktisch is de DVG homogeen als de som van de coëfficiënten van de veeltermen gelijk zijn aan
elkaar.
OPLOSSINGSMETHODE
1. Stel y=ux of x=uy
' ' ' '
y =u+u x x =u+u y
2. Splits in veranderlijken
1
, Totale of exacte diff erenti aalvergelijking
∂ M ( x , y ) ∂ N (x , y )
M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 is een exacte of totale DVG als =
∂y ∂x
OPLOSSINGSMETHODE
We zoeken de functie F ( x , y )
F ( x , y )=C
∂M (x , y)
→ =M (x , y ) (1)
∂x
∂M (x , y)
→ =N ( x , y) (2)
∂y
Uit (1): F ( x , y )=∫ M ( x , y ) dx +k ( y )
¿ u ( x , y ) +k ( y)
∂
Uit (2): (u ( x , y )+ k ( y ))≡ N ( x , y)
∂y
' ∂
k ( y )=N ( x , y ) − u(x , y)
∂y
k ( y )=∫ k ' ( y ) dy
F ( x , y )=u ( x , y ) +k ( y)
De algemene oplossing van de totale DVG wordt: F ( x , y )=C
2
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