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Metodos matematicos de variable compleja
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Apuntes de matematicas que envuelven el algebra, calculo diferencial e integral con variable compleja
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sergiogalarza
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Funciones de una variablecompleja
a-
Nomeros IR
complejos
IQ#
Un numero
complejo es cualquier numero
de la Forma
2- =
a tio
donde a lo son números reales e i La parte real de
y e
imaginario
un
es la unidad
imaginarla numero
complejo Z se abrevian como
Ejemplo Re (z) e Imlz )
respectivamente
Al aprender a resolver una ecuación
cuadrática axrtloxt medio Por entonces
C = O
por ejemplo si 2- =
4-9 :
de la Formula cuadrática ,
se observa
que
las raves de la ecuación no son reales ,
Re ( z ) = 4 e Im (z ) =
-9
cuando el discriminante
Si no
complejas ,
d- _
Yac es
negativo Una constante real que es multipla
de la unidad denomina
imaginario se
Ecuaciones sencillas Por ejemplo
imaginario puro
como un numero .
Z Gi
imaginario
=
es un numero
puro
✗ 2+5=0 ✗ 7×1-4=0
y
Definición
tienen
no soluciones reales .
Dos números complejos son
iguales
Las de esta ultima ecuación reales
raves son si sus partes e
imaginarios
son
iguales
-
¿ ¥ +
y _
¿ DIZ -
Los romeros
complejos
Si se considera que
1-5=15.1-7 z ,
= X ,
+
y; y
Za = ✗a +
ya ¡
entonces podemos escribir las raves
como Son
iguales
-
¿
+
II. ti y
-
¿
_
i-I-t.tl Z ,
=
Zz Si
Terminología Re (E) =
Relza )
El numero la definición anterior
i de Imlz ) ,
=
Im ( za )
se denomina la unidad El
imaginarla •
numero real y de 2- ✗ it
y se denomina = * Un numero
complejo ✗
tyi = O SI
la parte real de Z Y el numero real ✗ ✗ 0 o
y y
= =
se denomina parte de Z
imaginarla
,*
Operaciones aritméticas Ejercicio
Los números Si encuentre
°
complejos se pueden Z ,
= 21-4 i
y
2- a
=-3 1-8 , ,
sumar restar multiplicar dividir
,
y , .
Si Z =
X t
Y i Ze Xe t
ya i a) Z, t Ze = -
l t 12 i
y
, , , ,
estas operaciones se definen como
sigue
b) 2- ,
•
2- a = ( -
G -
32
Suma :
Conjugado de un numero
complejo
Z , tza = (× ) ( ya ;)
+
+ i × +
,
g. .
(× ✗ e) (y Si
+ + +
ya ) i Z número complejo entonces el
=
, , es un ,
'
real
imaginarla número que se obtiene al cambiar el
signo
de su
parte se denomina complejo
imaginarla
Resta ! conjugado o
conjugado de 2-
Z , tza = (× +
y i ) ( xat Yai ) si 2- = ✗ ti entonces su
y
, ,
. .
=
(× ✗ e) + (y g) i
conjugado
-
-
, , es
'
real
imaginarla
E =
✗ -
iy
Multiplicación
o
.
Por
ejemplo
2- ,
•
Za = ( × ,
t
y ,
i ) (✗ a
+
ya i )
entonces
'
×, ✗ t i it i * Si Z 6 3 i E
×,
y ya
t t 6-3
ya
= ✗
y
= =
a , a ,
= (× ,
✗ a
-
y ya, ) + i ( ×,
ya +
y ,
✗ e)
* g, Z = -5 -
i entonces E = -5 ti
Division :
* Si 2- =
7 entonces 2- = 7
2-
za
= X.tyiij-X.la/-YiY-tiYiXz-XiY-
✗ 1- ya i
a Xe + y? × ? YE
'
(
Para
numero
cualquier
real )
Usando la definición
Las conocidas leyes conmutativas ,
asociativas
y
de la sum
distributivas son válidas para números complejos se demuestra Fácilmente
que
de de
el
conjugado una suma
Leyes conmutativas :
{ Z t Zr Zat Z dos complejos la
=
, , números es
(E) ( za ) = (za ) ( Zi ) suma de los conjugados :
Leyes asociativas
:{ Z 1- (Zat -2s) (z 1- 2- a) Es + -2,1--27 É + E
= =
, ,
Z ,
( Za -23) =
(Z ,
-22 ) Zz
( Zat 3)
0
Ley distributiva . Z, 2- =
-2,2-21--2,2-3
,Tambien las
siguientes
-22€
tienen
Xitiy-oxz-iy-tre.se
se I. = € .
=
propiedades iya Za Zz ✗ a ti
ya ✗a -
É
2
1) ZFEA E =
×,
= ✗ ix
ya
+
iy ✗
iy ya
-
,
-
- =
, a , _
, a ,
ixya
y 'all
i
✗
ixayr +
- -
a
) ZTZA É Er =
,
•
( ✗✗a 1-
y ya ) i ( ✗ × ya )
=
t y
-
, , a ,
" E-
"
⇐ =
E
xi +
yi
xixztzyiY-tyixz-X.LI
=
Las definiciones de multiplicación XÍT ya It ye
'
suma ✗
y
muestran que la suma el producto de un
y
numero
complejo F-
y
su
conjugado E son tambien
números reales .
Ejemplo
2- + E = ( ✗ + ¡
g) + ( × -
i
g) =
zx Si Z ,
= 2-3 i
y
Za = 4+6 i
(
iy ) ( iy )
2- •
E =
× + •
✗ -
Encuentre
izytixy a)
'
¡ ya 8-1--8
.
= × -
-
← = + -12-12-1
Za 16+36 161-36
= ' '
× t
y
=
-10--21 i
La diferencia de un numero
complejo -52 52
conjugado número
2- su
y
es un
imaginario puro
=
5- -
1-2 i
( iy) ( iy )
z - E = ✗ +
-
✗ - 26 26
=
✗ ti × ti Zi
y y y
- -
-
d) 1- = 1- •
E- =
como ✗ = Re ( Z) = Im ( z) entonces Z, Zi Zi
y y
usando los resultados anteriores tenemos
1- . 273cL =
Re ( z ) ( z)
2-tzz-y.IM ZEE 2- si 2+3 :
= =
4i-6.ir?I?i-q..a-
=
=
Podemos abordar la división .
de dos romeros
complejos 2- zz Usando la definición del
,
y
del
conjugado complejo iy 2t3¿- 2,433L
numero Si E. = × + = = =
,
, ,
y
Za ✗a ti 4-9 i
ya
=
=
It ? i
, Interpretación geométrica
Esto es :
Un numíero complejo Z = x t
y
i se determina
Unicamente medio de un ordenado / Z t za l E l Z l t I Za
por par , ,
de números reales (✗
iy) El
primero y
•
Este resultado
segundo elemento de cada par ordenado se conoce como
corresponden respectivamente real
, ,
a la
parte la desigualdad triangular .
la del
y
a
imaginarla numero
complejo
Por ejemplo r T
Z , 1- 2- a
/
( 2 ,
-
3) corresponde al complejo Z =
2-3 : /
/ z ,
2- =
2-3 : determina el par ordenado Cz ,
-
3) !
Asi se asocia un numero
complejo 2-
yi con
= ✗ t
un
punto -
Cxiy ) de un plano de coordenadas .
y
a
eje
" •
imaginario
y,
2- = ×
,
t
iy ,
D
Eje real × ×
↳ ,
El
plano coordenada ilustrado en la
Figura se denomina
plano complejo o simplemente el plano Z
Definición
El modulo o valor absoluto de 2- ✗ ti se derrota
y
=
por
12-1 , es el numero real
lxrtyT-dzz-lasuma.de
12-1 =
los vectores Z 2- a es el vector
,
y
Z ,
t Zz o
Para el triangulo indicado en la
figura se sabe que
la
longitud del lado del
triangulo correspondiente al
vector Z ,
t Zz no puede ser mas
grande que
la suma
de los dos lados restantes .
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