Geometría en los Inescindibles de un Álgebra Hereditaria
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Geometría y Álgebra
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Geometría Y Álgebra
En este trabajo mostramos que los procesos de reducción entre álgebras tensoriales con diferencial, como se desarrolla por Bautista, Salmerón y Zuazua, son herramientas prácticas para estudiar y construir explícitamente representaciones inescindibles de carcaj. En concreto exhibimos dos aspect...
4 Construcción de módulos excepcionales. 129
4.1 Representaciones de An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
f
4.2 Representaciones de D fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3 Ditálgebras reducidas para los casos E g m . . . . . . . . . . . . . . . 141
A Álgebras tensoriales con diferencial. 145
A.1 Ditálgebras y sus módulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.2 Estratos, triangularidad y extensiones. . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.3 Algunas propiedades de bimódulos y sus duales. . . . . . . . . . . 153
A.4 Reducción a través de módulos admisibles. . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliografı́a 159
, Resumen.
Mostramos que los procesos de reducción entre álgebras tensori-
ales con diferencial, como se desarrolla por Bautista, Salmerón y
Zuazua [8], son herramientas prácticas para estudiar y construir
explı́citamente representaciones inescindibles de carcaj. En concreto
exhibimos dos aspectos de la reducción: por un lado, el funtor de
reducción preserva muchas propiedades de las bases elegidas, lo cual
permite generalizar al contexto de carcajes con diferencial algunos
resultados conocidos en la teorı́a de representaciones de carcaj (los
módulos excepcionales son módulos árbol, ver Ringel [26]). Por otro
lado, los procesos reductivos son herramientas implementables y efi-
cientes para el cálculo sistemático de representaciones inescindibles
de carcaj. Como ejemplo se analizan dos casos particulares impor-
tantes, las álgebras de Kronecker y las álgebras de Dynkin extendido.
Palabras clave: Ditálgebra; Carcaj; Representación excepcional;
Reducción; Carcaj de Coeficientes.
Abstract.
We show that the reduction processes between differential tensor
algebras, as developed by Bautista, Salmerón and Zuazua [8], are
practical mechanisms for the study and explicit construction of in-
decomposable quiver representations. Specifically we exhibit two
aspects of the reduction: on the one hand, the reduction functors
preserve many properties of the chosen bases. This enables us to
generalize to the context of differential quivers some known results
in the theory of quiver representations (exceptional modules are tree
modules, cf. Ringel [26]). On the other hand, the reduction process
is an implementable and efficient tool for the systematic computa-
tion of indecomposable quiver modules. For instance we analize two
important particular cases, Kronecker algebras and extended Dynkin
algebras.
Keywords: Ditalgebra; Quiver; Excepcional representation; Re-
duction; Coefficient quiver.
,Introducción.
Sea k un campo arbitrario y consideremos la k-álgebra de caminos A de un
carcaj finito Q. Un problema básico de la teorı́a de representaciones de álgebras
asociativas es dar de manera explı́cita, mediante colecciones de matrices, re-
presentaciones inescindibles de A de dimensión finita. En general este es un
problema difı́cil que ha estimulado la teorı́a y que se encuentra lejos de encon-
trar respuesta satisfactoria. Cuando Q corresponde a un diagrama de Dynkin
(con una orientación establecida de sus flechas), Gabriel exhibe representaciones
cuyas clases de isomorfismo son una lista completa de A-módulos inescindibles
[11, 1972]. El problema fue complementado por Ringel en 1998 [26]. Para los
diagramas de Dynkin extendidos, tema principal de esta tesis, se encuentran los
siguientes resultados parciales. En 1890, al resolver un problema propuesto por
Weierstrass, Kronecker clasificó lo que en el lenguaje actual son las representa-
ciones del carcaj con dos flechas · // · (correspondiente al diagrama A f1 )
cuya álgebra de caminos es llamada álgebra de Kronecker. El problema de cua-
tro subespacios, que puede interpretarse en términos de representaciones de un
carcaj del diagrama D f4 , ha sido analizado por Nazarova en 1967 [22], Gelfand
y Ponomarev en 1972 [15], y Medina y Zavadskij en 2004 [21]. El caso A fn fue
descrito por Gabriel y Roiter en 1997 [13], quienes dan también un algoritmo
para determinar representaciones regulares de E f6 (para campos algebraicamente
cerrados). Este método puede ser adaptado fácilmente a cualquier diagrama de
Dynkin extendido ∆. e Las representaciones posproyectivas y preinyectivas de
Dn fueron dadas por Kussin y Meltzer en 2006 [19], ası́ como las series de
f
representaciones de rango tres en E f6 . Su método hace uso de la teorı́a de incli-
nación y el conocimiento explı́cito de representaciones de las álgebras canónicas
domésticas (como define Ringel en [24]) dado por Komoda, Kussin y Meltzer
en [20] y [18]. Con el mismo método Kedzierski y Meltzer describen en 2011 las
series de representaciones de rango máximo (seis) de E f8 [17].
Por otro lado, los módulos excepcionales (representaciones inescindibles sin
auto-extensiones) han sido objeto de estudio desde diferentes perspectivas y con
diferentes propósitos. Las sucesiones excepcionales, las particiones que no se
cruzan, la teorı́a de inclinación y los procesos de reducción de este trabajo son
ejemplos donde los módulos excepcionales juegan un papel principal. Como
es bien sabido, las clases de isomorfismo de módulos excepcionales quedan de-
terminadas por la dimensión vectorial. Además Ringel ha mostrado [26] que
las representaciones excepcionales pueden ser dadas con matrices tales que el
número de coeficientes distintos de cero son el mı́nimo esperado (módulos árbol).
En tal caso se pueden exhibir representaciones con matrices formadas solamente
con coeficientes 0 y 1.
xi
, xii CONTENIDO
Una manera de enfrentar el problema de exhibir representaciones de carcaj
es ampliar el contexto algebraico del que se toman representaciones. Para ello,
y por la importancia propia de estos temas, se han considerado representaciones
explı́citas de carcajes con relaciones (Kussin y Meltzer con sus representaciones
de álgebras canónicas), de conjuntos parcialmente ordenados (a partir de tra-
bajos iniciados por Zavadskij), problemas matriciales (Nazarova) entre otros.
Como propone el Profesor Bautista, director de esta tesis, dentro del contexto
de ditálgebras la reducción a través de módulos admisibles (como se desarrolla
por Bautista, Salmerón y Zuazua en [8]) resulta ser una herramienta práctica
para dar de manera sistemática representaciones de carcaj. De interés par-
ticular, considerando los antecedentes de los párrafos anteriores, es el caso de
diagramas de Dynkin extendidos y sus componentes posproyectiva y preinyec-
tiva. En respuesta a este interés se establecen los objetivos del presente trabajo.
Sean A0 el álgebra de caminos de un carcaj de Dynkin y A la extensión de un
punto de A0 .
Objetivos. Describir las restricciones a A0 -mod de A-módulos
posproyectivos y preinyectivos inescindibles en términos de sus posi-
ciones dentro de la gráfica de Auslander-Reiten. Además, deter-
minar ciertas reducciones del algebra A con respecto a A0 -módulos
admisibles y mostrar cómo mediante el uso del funtor asociado a la
reducción se construyen explı́citamente series de A-módulos excep-
cionales.
En términos generales, en el capı́tulo uno se prueban resultados preliminares
en el contexto de ditálgebras y se comentan aspectos generales de la teorı́a de
Auslander-Reiten. En el capı́tulo dos se analizan dos elementos clave en la
construcción de A-módulos: la categorı́a de representaciones del álgebra de Kro-
necker y la categorı́a de A0 -módulos. En los capı́tulos tres y cuatro se estudia la
extensión de un punto, se define y analiza el rango de una A-representación y se
construyen A-módulos excepcionales a partir de ciertas representaciones reduci-
das de rango menor. En el apéndice se dan algunas definiciones y resultados
fundamentales de la teorı́a de ditálgebras y sus categorı́as de módulos, como se
expone por Bautista, Salmerón y Zuazua [8]. Enseguida se da una descripción
detallada por capı́tulos.
Capı́tulo 1. En la sección 1.1 se muestran algunas relaciones entre formas
bilineales enteras y la categorı́a de módulos de un (bi)carcaj con diferencial. Se
establecen nociones y resultados necesarios para el resto del trabajo.
En particular se define la caracterı́stica de Euler y se extiende la noción de
matriz de Cartan a álgebras positivamente graduadas. Esta noción es compa-
tible con la caracterı́stica de Euler (lemas 1.3 y 1.4) y como se muestra en la
sección 1.2, con la construcción de la matriz de Coxeter dada a través de refle-
xiones (corolario 1.7). En las secciones 1.3 y 1.4 se presentan herramientas ele-
mentales para la construcción de ditálgebras, como la regularización y reducción
de eje. Además, se generalizan propiedades conocidas de módulos excepcionales
al contexto de ditálgebras (por ejemplo, todo módulo excepcional es árbol, teo-
rema 1.17). En la sección 1.6 se exponen resultados clásicos de la teorı́a de
Auslander-Reiten en base a Ringel [24]. En 1.7 se muestran definiciones y resul-
tados sobre carcajes de traslación, secciones y cosecciones. Estos resultados son
fundamentales en las pruebas de la sección 3.5. Por último en 1.8 se describen
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